たとえばだが、
そうかそうじょーってのがある。
x^2+y^2>=2xy
ってやつだ。

x^2+5x+1の最小値を求めると

そうかそうじょーにy=5/2を入れると
x^2+5x+25/4の最小値は0ということになる。
x^2+5x+1+21/4の最小値が0なので
最小値は-21/4ということがわかる。
平方完成と微分しか知らない人は、このようなやり方など考えもつかないだろう。