微分可能多様体の局所座標系が絡む議論で、コンパクト性を仮定すると議論が格段に易しくなった
覚えがある。無限次元まで行かなくてもコンパクト性の有用性は実感できると思う。勿論意味も。

逆にヒルベルト空間なり多様体なり高度な概念と一緒じゃないと意味が判らないということは、
それだけ「コンパクト」が難しいということ。将来理解できる瞬間が訪れることを期待しつつ、
形式的操作で先に進むなりユークリッド空間の有界閉集合に読み替えて進むなりすれば
よいと思う。