まあ中には
「φが証明可能」または「φが証明不可能」
のどちらか一方がなりたつ、なんてことは実際に証明してみるか
証明不可能性の証明が得られないと言えない、なんていう人も居るかもしれませんが（藁

その命題をφとして¬φであると仮定する→矛盾が生じる→だからφだ
というような背理法を認めない人たちが居るのは確かですが、その人たちも
φであると仮定する→矛盾が生じる→だから¬φだ
という種類の背理法は認めるので、ちょっとあなたの言うことはずれていると思います