では、下記の解釈でしょうか。

・数学の公理系はその公理系の中では証明も反証もできない命題が必ずある。
　
・さらにそのような命題の中に公理系自身の無矛盾性を示す命題がある

・自身の無矛盾性が証明も反証も出来ない命題として示されるので
　公理系自身の無矛盾性はその公理系では証明できないことになる

この過程はゲーデルにより数学的に誤りのない証明が与えられた。　


で、


・だから、「無矛盾」で「完全」な公理系を作って新たに数学の土台にしようとする
　試みは原理的に不可能である。

　「無矛盾」とはある公理系から互いに矛盾する命題が作れたりしないこと。
　「完全」とはその公理系から作られる命題が全て恒真命題であること。
　「恒真命題」とはその公理系で証明可能な命題のことである。

「完全」の意味が間違えているとのことですが、正しくはこの場合どうなるのでしょう。

ちなみに不完全性定理に関してはこのスレでは評判の悪い
ブルーバックスの吉永氏のもの……orz

と、あと林晋氏のも恐らく読んでます。
あと、論理学関係の解説書の内容と混じってるかもしれません。