純粋に数学の基礎だけを与えるという試みなら命題と公理と推論だけを定義すればいいけど。モデル論もいらない。

そのかわり任意の公理系の性質なんて議論できないでしょ。その範囲が自分では定められないんだから。自分で完全性定理を持ち出したのにね。