多分、PAじゃなくて一階述語論理の完全性定理
のことをいいたいんだろうけど、肝心なところで
間違ってるね。

正しくは
「一階述語論理の任意の閉じた命題Ｐについて
　Ｐがどのような解釈でも真であることと
　Ｐが証明可能であることは同値」

ちなみに、閉論理式だからといってＰか¬Ｐのどちらかが
必ず証明できるとはいえない。
これは、閉論理式Ｐで、これが真であるような解釈と
偽であるような解釈の両方が存在するようなものを
実際に構成すればよい。サルでもできる。