＞標準モデルはある意味で最小のモデルということだろうか。

証明できる元以外存在しないという意味では最小。

＞ゲーデルの話は
＞「モデルの最小性を一階の言語の公理で言い表すことができない」
＞という話ととれるの？

そう。