この問題では英語にした方がまだ分かりやすいか？「連結」と「連続」は字が似ているからな。
At first, notice that the image of a connected set by a continuous function is conneced.
More, if we given f:X→Y, a continuous function, then the map x∈X |→ (x,f(x))∈X×Y is continuous.
(これは[>198]を英語で書いたつもりなんだが、変なところがありそうなので添削よろしく。)