>>47
「任意の自然数nに対して、6^(5^n)-1は5^(n+1)の倍数である」 ことを数学的帰納法で示す。

（１）n = 1 のとき、
右辺 = 5^(1+1) = 25
左辺 = 6^(5^1) - 1 = 7775 = 25 * 311
よって成り立つ。

（２）n = k のとき命題が成り立つと仮定すると、
n = k+1 のとき、
右辺 = 5 * 5^(k+1) = 5^(k+2)
左辺 = 6^(5^(k+1)) - 1
　　　 = 6^(5^k * 5) - 1
　　　 = (6^(5^k))^5 - 1・・・・・(a)
仮定より、6^(5^k)-1 は 5^(k+1) の倍数なので、
6^(5^k)-1 = m * 5^(k+1) ⇔ 6^(5^k) = m * 5^(k+1) + 1
これを (a) に代入すると、
左辺 = (m * 5^(k+1) + 1)^5 -1
　　　 = (m * 5^(k+1))^5 + 5 * (m * 5^(k+1))^4 + 10 * (m * 5^(k+1))^3 + 10 * (m * 5^(k+1))^2 + 5 * (m * 5^(k+1)) + 1 - 1
　　　 = 5 * m * 5^(k+1) * {(m^5 * 5^((k+1)*5-1) + (m * 5^(k+1))^3 + 2 * (m * 5^(k+1))^2 + 2 * (m * 5^(k+1)) + 1}
　　　 = 5^(k+2) * [m * {(m^5 * 5^((k+1)*5-1) + (m * 5^(k+1))^3 + 2 * (m * 5^(k+1))^2 + 2 * (m * 5^(k+1)) + 1}]
よってn = kで命題が成り立つとき、n = k+1 でも命題が成り立つ。

（１）（２）より、全ての自然数について 6^(5^n)-1は5^(n+1)の倍数である。（Q.E.D.)