位相の話なんですが、連結成分は常に開かつ閉とは限らないんですか？
勉強中の本には連結成分はすべて閉であるという定理があったので、
連結成分（C1~Cnとします）が有限個の場合は、たとえばC1以外の和集合は閉集合になるので、
C1は閉集合の補集合で開などとしていけば、すべての連結成分が開かつ閉だといえますよね？
でも、可算無限の時点で和集合が閉集合になるとは限らないから、この方法では示せません。
ほかの方法で示せるなら、それを教えてください。無理なら、反例を教えてください。お願いします。