>>326
det（V，ｘ_θ，ｘ_φ）= (ｘ_θ×ｘ_φ)・V = sinθcosθであって、
ｘ_θとｘ_φの向きを考えればｘ_θ×ｘ_φは動径ｒ方向（原点から遠ざかる向き）、
(ｘ_θ×ｘ_φ)・V　の値は明らかに正。
こちらを左手系とすれば、det（V，ｘ_φ，ｘ_θ）は右手系となって、
変数変換に対して対称でない。解答は問題として与えられた方にすべき。
はっきりしなければ正の値の方でいいと思う。

変数変換を前提に積分を考えるなら、dudvの方にも反映されるように、
du∧dv と微分形式にすべき。
微分形式なら　du∧dv=-dv∧du　となって、−が打ち消されて、
確かにuとvとを入れ換えても同じになる。