>>684
Norm 空間の定義は略。ある距離空間 $(X , d)$ において、任意のコーシ
ー列がその空間内に収束点を持つとき、「その距離空間は完備である」と
か、「完備な距離空間」いう。

Banach 空間とは、Norm 空間でかつ距離の完備性を認めたものである。
たとえば、普通の意味の norm で、$\mathbb{Q}$ は Norm 空間となる。
しかし、Banach 空間ではない。例えば、$a_n = 1 - 1/2 + ... + (-1)^{n - 1}/n $
は $\mathbb{Q}$ 上のコーシー列だが、$a_n \to \log 2 \not\in \mathbb{Q}$
となる。

（後半の問題）
Schwarz の不等式を使えば容易。