３×３×３の場合

ある面の数字の合計は　A = (1 + … + 27) / 3、
ある列の数字の合計は　B = A/3、である。

中心を通らないある面の真ん中の数字は C = (4B-A)/3 となるため、(*)
８個ある全ての面の中心は C でなければらならい。
これは同じ数字を２度使ってはいけないという決まりに反する。
よって、３×３×３の魔方陣は作れない。

(*) の証明

abc
def
ghi

上の面において、
a+b+c+d+e+e+f+g+i = (a+e+i) + (b+e+h) + (c+e+g) + (f+e+d) - 3e
A = B + B + B + B - 3e
∴ e = (4B-A)/3

どーよ