dxやdyは「微小量」の概念。無限大「∞」を数としては考えないだろ。概念として考えるだろう。
ただ、概念上微小なだけで、結局はxやyと同じ。関数と同じように扱っても矛盾は起きない。

微分が接線になるのは単なる結果。
もともとは誰もが中学校で習う変化の割合、⊿y/⊿xが元になっている。
⊿y、⊿xの微小量dy、dxについて変化の割合を考えると、結果的に関数の接線になっている。

積分も同じ。∫f(x) dxは∫dxの中にf(x)を入れているのではなく、
一つの⊿xがdxになるように分けて得た（つまり無限に分けて得た）一つ一つのf(x)の値
を最後に全てを足し合わせて（つまり積分して）求積している。