ちょっと気になるスレタイなので、口を挟ませてもらいます。
微分幾何は知ってるけど、その他はど素人です。
いままでで、
dxは「微分形式」であるというのと、
「超準解析で使われている」との回答がありました。
しかし、「微分形式」は微分幾何では結局、
R^n上への積分（リーマンまたはルベーグ）に持って行くため、
これは回答として不正解ではないかと思えます。

いかがでしょうか？
これら以外の考え方などあったら教えてください。