>>575
可逆元をちょうど11個持つような環は存在しない。

(証明)
Rは|R×|=11である環と仮定する。Rの乗法単位元をeとおく。位数が素数なので、R×は巡回群。R×=<a>とする。

(-e)^2=eだから、-e∈R×で、その位数は1または2だが、11の約数だから位数は1、
つまり-e=eでなければならない。よって2e=0だからRの標数は2。
すると(e+a+a^2)(a+a^2+a^4+a^5+a^7+a^8+a^10)=eだからe+a+a^2∈R×、
よってある整数n (0≦n≦10)があって、e+a+a^2=a^nと書ける。

F_2を標数2の素体とし、fをf(1)=e、f(X)=aで定義される、F_2[X]からRへの環準同型写像とする。
p(X)=1+X+X^2-X^n∈F_2[X]、q(X)=X^11-1∈F_2[X]とおくとf(p)=f(q)=0だから(p,q)⊂Ker(f)。
F_2[X]はPIDだから、イデアル(p,q)は単項で(s)と表されるが、
一方、p(1)=0より(X-1)|p(X)で、また、r(X)=X^10 +X^9 +...+X+1 とおくとq(X)=(X-1)r(X)であり、
r(X)はF_2[X]において既約(※)で、さらにr≠pだから、結局s(X)=X-1。
ところが(s)⊂Ker(f)だから0=f(s)=a-e、つまりa=eとなり、aのとり方に反する。(証明終)

(※)
r(X)=X^10+X^9+...+X+1がF_2[X]で既約であることは、rがF_2[X]の5次以下の既約元で
割り切れないことをみればよい。F_2[X]の5次以下の既約元は次の14個であることはすぐにわかる。
1次：X, X+1、2次：X^2+X+1、3次：X^3+X+1, X^3+X^2+1、4次：X^4+X+1, X^4+X^3+1, X^4+X^3+X^2+X+1、
5次：X^5+X^2+1, X^5+X^3+1, X^5+X^4+X^3+X^2+1, X^5+X^4+X^3+X+1, X^5+X^4+X^2+X+1, X^5+X^3+X^2+X+1