t_i = Arctan(b_i/a_i), p_i = (a_i)^2 + (b_i)^2 とおくと、
a_i ± b_i * √(-1) = √(p_i) * e^(±t_i * √(-1)) 。

Σ[i=1〜n] c_i * t_i = 0, (nは自然数、c_i はすべて有理数で、少なくとも1つは0でない) と仮定する。
必要なら t_i の順番を入れ替えて正整数を掛けることで、どの c_i も0でない整数としてよい。
このとき
Π[i=1〜n] (a_i + b_i * √(-1))^c_i = Π[i=1〜n]√(p_i)^c_i、
Π[i=1〜n] (a_i + b_i * √(-1))^(2 * c_i) = Π[i=1〜n] (p_i)^c_i、
Π[i=1〜n] (a_i + b_i * √(-1))^c_i = Π[i=1〜n] (a_i - b_i * √(-1))^c_i
だが、Q(√(-1)) の整数環 Z(√(-1)) は一意分解整域だから、これは矛盾である。