>>459
y=0 とすると、 (z-1)(z^2+z+1)=z^3-1=5^x となる。よって、z-1=1 または z-1≡0(mod 5) となる。
z-1=1 は 5^x=7 となるため不可。また z≡1(mod 5) は z^2+z+1≡3(mod 5) となるため不可。
よって、 y>0 となる。
5^x≡z^3≡±1(mod 7) より、 x≡0(mod 3) となる。よって、 X=5^(x/3) は整数で、
(z-X)(z^2+zX+X^2)=z^3-X^3=7^y となる。
7|(z-X) とすると、7|(z^2+zX+X^2)≡3X^2 となって矛盾。よって、z-X=1。
z^2+zX+X^2=3X^2+3X+1=7^y だから 7^y-1=3X(X+1) となり、5^(x/3)|(7^y-1) が成り立つ。

ここで、 5^2||7^4-1, 5^n||(7^k-1) かつ n>2 ならば、(7^{ak}-1)=(7^k-1)(7^{(a-1)k}+...+1)≡a(mod 5^n)
となることから、 5^n|(7^k-1) ならば、4*5^(n-2)|k であることがわかる。

したがって、 4*5^(x/3-2)|yより 3X^2+3X+1=7^y≧7^(4*5^(x/3-2))=7^(4X/25) となる。
X≧5^3 ならば、これは不可。よって、X≦5^2。 X は5^0, 5^3, 5^6 のいずれかとなる。
3X^2+3X+1=7^y より X=5^0。よって、(x, y, z)=(0, 1, 2) のみ。□


超越数論使わないと解けないかと思ったが、初等的な方法でできた。