>>434
x>1 ならば, 5-3^y≡5^z-3^y=2^x≡0(mod 8) となるが,
3^y≡1 または 3(mod 8) より, これは不可能.

x=1 ならば, 5^z-3^y=2=5-3. よって 5^z-5=3^y-3 より5|(3^(y-1)-1).
よって y≡1(mod 4) となるから, 2^4|3^y-3=5^z-5 より z≡1(mod 4).
よって 313|5^4-1|5^z-5=3^y-3 より, y≡1(mod 39).
7|3^y-3=5^z-5 より z≡1(mod 6), 3^2|5^z-5=3^y-3. したがって y=z=1.

したがって, x が奇数となるのは (x, y, z)=(1, 1, 1) のみ.


問題. 3^x+5^y=2^z を満たす正整数 (x, y, z） の組をすべて求めよ.