>>35
(1)
補題１
pを奇素数とする、a^(p-1)+a^(p-2)+…+1の素因数qをとるとq=p、あるいはq≡1　(mod　p)となる。
証明
a^p≡1　(mod　q)ここで、eをaの位数とするとe|pだから、e=1あるいはpとなる。
e=1のときp≡0　(mod　q)となってq=pが示される。
e=pのときe=p|q-1となるので、q≡1　(mod　p)が示される。

補題２
pを奇素数、aをa≡1　(mod　p)となる整数とする。
a^(p-1)+a^(p-2)+…+1≡0　(mod　p)
証明
a^(p-1)+a^(p-2)+…+1≡p≡0　(mod　p)

さて、解答に入る。　
mが平方因子を持たないと仮定する。
mをm=Π(qは素数)qと書く。
2p^(4k+1)*Π(q^2)={1+p+…+p^(4k+1)}*Π(1+q+q^2)…※
補題1より1+q+q^2の素因数rは3あるいはr≡1　(mod　3)のものに限られる。
r=3のときは明らかに3はmの素因数
r≡1　(mod　3)の場合も、補題2よりr^2+r+1は3で割り切れる。
よって、mは3を素因数に持つ。
Π(1+q+q^2)は1+3+3^2=13で割り切れ、mは13で割り切れる。
Π(1+q+q^2)は1+13+13^2=183=3*61で割り切れ、mは61で割り切れる。
Π(1+q+q^2)は1+61+61^2=3783=3*13*97で割り切れ、mは97で割り切れる。
※の右辺は27で割り切れるが、左辺は27では割り切れないから不合理。