1.(1)
σ(n)=2n, n=2^k*v(v: odd)ならば
(2^{k+1}-1|σ(n)=2nより(2^{k+1}-1)|v...(1)
σ(2^k)/2^k * σ(v)/v=σ(n)/n=2より
σ(v)/v=2^(k+1)/(2^(k+1)-1)...(2)

v|w, v<wならばσ(w)/w>σ(v)/v。
(1)(2)よりv>2^(k+1)-1ならば
σ(2^{k+1}-1)/(2^{k+1}-1)<σ(v)/v=2^(k+1)/(2^(k+1)-1)
となって矛盾。よってv=2^(k+1)-1。
σ(2^{k+1}-1)/(2^{k+1}-1)=σ(v)/v=2^(k+1)/(2^(k+1)-1)
より、2^{k+1}-1は素数であることが分かる。Q.E.D.

1.(2)
p=2ならばσ(p^e)=2^{e+1}-1: odd...(1)
p: odd, e: evenならばσ(p^e)≡p^e+...+1≡e+1≡1(mod 2)...(2)
p≡3(mod 4), e: oddならばσ(p^e)≡(p^e+p^{e-1})+...+(p+1)≡0(mod 4)...(3)
p≡1(mod 4)ならばσ(p^e)≡e+1(mod 4)...(4)

nが奇数の完全数なら、σ(n)≡2(mod 4).
よって、n=Πp_i^e_iとおくと、ちょうど一つのiに対して
σ(p_i^e_i)≡2(mod 4)となり、他のiに対してσ(p_i^e_i): odd。
前者は(4), 後者は(2)のタイプに該当する。Q.E.D.

2.
σ(n)が奇数なので、1.(2)の(1)(2)よりn=2^km^2(m: odd)。
k: oddとすると、3|σ(2^k)|σ(n)。一方、2nは平方数なので、
σ(n)=2n+1≡1 or 2(mod 3)となって矛盾。
k: even≧2とすると、nは平方数l^2であるから、σ(n)=2l^2+1。
よって、σ(n)の素因数は≡1 or 3(mod 8)。
σ(2^k)|σ(n)より、-1≡2^{k+1}-1≡σ(2^k)≡1 or 3(mod 8)となって矛盾。
よって、k=0。Q.E.D.