>「初等整数論」=「有理整数に関する理論」だ。

そうとは限らないだろう。
解析を使う素数分布に関する理論は有理整数に関する理論だが
初等整数論とは言わない。

>「初等整数論」=「初等的な整数論」ではないぞよ

「初等整数論」=「初等的な整数論」だよ。