何度もレス申し訳ないです
588の一行目はつながっていない例です。
例えば

f(x)={x　　(0,1)
　　　x+1　(1,2)
　　　
などグラフは連続じゃないけど定義に当てはまっていそうで。
∀ε>0,∃δ>0 s.t. |x-a|<δ⇒|f(x)-f(a)|＜ε