夜分すみません、単射、全射のことで質問させてください。

f : X → Y
単射とは
　:　a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f(b)
全射とは
　:　∀d∈Y,　∃c∈X　s.t.　d ＝ f(c)

ですよね？
例を挙げると全単射の場合、
f : [-1,1] → R
f(x) ＝ sin^(-1)x
は上記定義を満たし、全単射になると思うのですがどうなんでしょうか。

集合の濃度の問題をやっているのですが、
参考書：[ライブラリ新数学大系E1 集合と位相への入門 -ユークリッド空間の位相-　鈴木晋一 著 サイエンス社]　のP57に
"集合AとBの間に全単射が存在するときAとBは対等であるといい、ここではA〜Bと表す"とあり、
問に「関係〜は同値関係であること証明しなさい」とあります。
そこの回答の事で質問なのですが、対称律に関して
「X〜Yならば全単射f:X→Yが存在し、その逆写像f^-1も全単射であるから云々」
とあります。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
全単射な写像の逆写像も全単射だと言えるんでしょうか？
上記写像　f(x) ＝ sin^(-1)x は全単射だと思うのですが、sin関数は全単射ではないですよね？
どこがおかしいのか指摘お願いします。
全単射という基本的なとこで今更戸惑いだしてしまいお手上げです。
よろしくお願いします。