>>31
p≠2 のときは，a ≡ 1 (mod. p^2) で十分．
f(x) = x^p - a とおく．
f(A) ≡ 0 (mod. p^(n+1)) が成り立っていたとする．
f(A + a_n*p^n) ≡ f(A) + f'(A)*a_n*p^n
　　　　　　　　　 ≡ f(A) + A^(p-1)*a_n*p^(n+1) (mod. p^(n+1))
これは任意の a_n に対して ≡ 0 (mod. p^(n+1)) で，
a_n ≡ -f(A)*p^{-(n+1)}*A^{-(p-1)} (mod. p) とおくと，
f(A + a_n*p^n) ≡ 0 (mod. p^(n+2))・・・☆
このようにして，帰納的にa_1, a_2, ・・・を定めたとき，
1 + 納i=1→∞]a_i*p^i ∈ Q_p がaのp乗根となる．

p=2の場合は，
f(A + 2^n*a_n) = f(A) + 2^(n+1)*a_n + 2^(2n)*a_n^2
より，n≧3 でなければ，☆の条件を満たす a_n が取れないので
a ≡ 1 (mod. p^3) とすれば，以下同様の議論．