一応，>>11の解答をちゃんと書いてみます．
αをQ_pの代数的な元とすると，α mod p は x^{p-1} = 1の根．
これは F_p で完全分解するので，ヘンゼルの補題によりαは1の冪根となる．
よって，Q_p∩Q~＝Q(ζ_{p-1})．
Qの自己同型群は自明群だから，ガロア群を求めるに等しく(Z/(p-1)Z)^×となる．