有界->極限あり
上限が存在するという定理を使うと,上限をSとすると,
e > 0 に対し,|f(x0) - S| < eとなるx0が存在する.存在しないなら,S賀状減というのに反する(上限をもっと低くとれる). fは単調増加で,しかもS >= f(x)なので,|S - f(x)| < eは x >= x0 なるxについてなりたつ.

極限あり->有界
単調増加なのでf(0)よりは小さくならないので,下に有界なのは明らか.
極限値をLとすると,e > 0 に対し x0 があって|f(x) - L| < e for all x >= x0
e を適当に取る(e = 1とか). x >= x0については明らかにfは有界.x < x0についても,fが単調増加であることから,かならずf(x) < L + 1 q.e.d.