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分からない問題はここに書いてね１９９

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0001１３２人目の素数さん05/01/18 18:52:49
さあ、今日も１日頑張ろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね１９８
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1105415383/
0449１３２人目の素数さん05/01/20 20:48:56
行列Ａの固有値をλ_i(i=0,1,2,…)とするとき、tr(A)とΣ[i]λ_iが
等しくなるのはどうしてなのですか？
最初は、行列Ａを対角化したものの対角成分はλ_iの列になるからだ
と思ったのですが、これでは対角化した行列Ｂのtr(B)とΣ[i]λ_iが
等しくなることを言っているだけですよね。
宜しくお願いします。
0450１３２人目の素数さん05/01/20 20:56:11
>>449
教科書嫁」ｂ
0451お願いします05/01/20 20:57:03
>>295
ありがとうございます。＾100
そう考えるのか。
0452１３２人目の素数さん05/01/20 20:59:12
>>448
あんたさんの解答レスしてみてよ
一応東京大学出版会から出てる参考書の問題だから解答が合ってるんだと思うけどね
0453１３２人目の素数さん05/01/20 20:59:24
>>449
A={a_ij} (i=1,2,・・・,n , j=1,2,・・・n)としてdet(sI-A)を考えてやると
s^(n-1)の係数は-(a_11+a_22+・・・+a_nn)=-trAとなる
det(sI-A)=(s-λ_1)(s-λ_2)・・・(s-λ_n)のs^(n-1)の係数は
-(λ_1+λ_2+・・・+λ_n)でこれは-(a_11+a_22+・・・+a_nn)と等しい
したがいtrA=Σ[i]λ_i
0454１３２人目の素数さん05/01/20 21:02:09
>>452
東大出版だからってあってるとは限らんが・・・
0455１３２人目の素数さん05/01/20 21:05:09
>>452
領域は三角形だから
とりあえず、x=1で切り分けるけど
左半分が、その解答と同じ
つまり、右半分が0にならんかぎり、その解答の値にはならん。

そして、右半分も左半分と同じ値であれば
おまえさんの計算と一致するが、どうも少しずれてるね。

ま、大学の教科書だから、間違いなんてのは結構あるだろうけども。
東大出版どうこういってるうちはまだまだ
0456１３２人目の素数さん05/01/20 21:07:51
積分で
（x＋2）＾3 ／ x＾2 dx
の途中式を教えてください
0457１３２人目の素数さん05/01/20 21:08:04
>>455
おお、なんかまともなレスサンクス！

もうちょい頑張ってみるわ
あんたにまだまだって言われるなら納得できます
0458１３２人目の素数さん05/01/20 21:09:04
>>455
つーかまって、領域が三角形だからx=1で分けるっていうのはどういう事なんだ？
俺そのへんの理解がなんか曖昧で・・・
0459１３２人目の素数さん05/01/20 21:11:35
まじでごめん！領域間違えてた！！

y=0、x=y、x=1で囲まれる領域だった！
スマソ！
0460１３２人目の素数さん05/01/20 21:12:00
>>459
しぬといいよ
0461１３２人目の素数さん05/01/20 21:13:18
逝ってきます
0462１３２人目の素数さん05/01/20 21:14:03
氏ぬまえに教えてくれ
領域が三角形だと分けるって一体どういうこったい？
046333005/01/20 21:15:05
330ですがレスがつかなかったのでダメかもしれませんが
もう一度書き込みます。どなたか解けるかたがいたら教えて下さい。

ωを０＜ω＜π/２を満たす実数の定数をとる。xy直交座標面上の非有界領域
　Δ＝｛（x,y）０≦ｘ≦cosω、ｘ二乗＋ｙ二乗≧１｝
上で２－型式
　η＝１/ｙ二乗dx∧dyを（広義）二重積分せよ。
0464１３２人目の素数さん05/01/20 21:15:08
>456
どこまでできる？
途中経過を書け
0465１３２人目の素数さん05/01/20 21:15:57
>>462
お前さんの最初の定義域がy=0,y=x,x+y=2だったろ
x=1で高さが変わるから分けたくなる
0466１３２人目の素数さん05/01/20 21:17:01
>>464
展開して項別積分するだけなのにな
046745605/01/20 21:20:20
まったくです
たぶん最初がわかればできるとおもいます
0468１３２人目の素数さん05/01/20 21:22:16
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0469１３２人目の素数さん05/01/20 21:22:52
>>467
展開して項別積分しろよと小一時間(ry

>>463
式がわかりにくい・・・
0470１３２人目の素数さん05/01/20 21:24:48
>>465
縦線集合、横線集合っつーのはそれには関係ないの？
0471１３２人目の素数さん05/01/20 21:30:28
>>463
π-2arcsin(cosω)
0472１３２人目の素数さん05/01/20 21:47:24
>>470
それは、xかyのどちらで先に積分するかによる
xで先に積分してしまえば、x=1で2つに分ける事もない

質問者の出した解が見えるように、x=1で分けた結果を出したが。
047333005/01/20 21:49:17
＞＞４６３
どのように計算したのですか？
もう少し詳しく書いてもらえると助かるんですが・・・
お願いできないでしょうか？
047435105/01/20 21:51:25
>>352さま
ありがとうございました。感謝です。
0475１３２人目の素数さん05/01/20 21:55:49
>>473
∫∫_D 1/y^2 dxdy=2∫[0,cosω]∫[sqrt(1-x^2),∞] 1/y^2 dydx
=2∫[0,cosω] 1/sqrt(1-x^2) dx
=2 arcsin(cosω)
047633005/01/20 22:13:07
＞４７５
ほんとうにありがとうございます。おかげさまで何とかなりそうです。
もう一つわからないんですが、∫の前の２はどうして出てくるのですか？
0477１３２人目の素数さん05/01/20 22:14:46
>>402
>ｈｘ（ｘ、ｙ）＝ｘ＾４＋ｙ＾４－λ（ｘ＾２＋ｙ＾２－１）

xで偏微分→4x^3 - λ(2x)=0　→　λ =2x^2
yで偏微分→4y^3 - λ(2y)=0　→　4y^3 -2x^2 * 2y =0 →y=0,+x,-x

(x,y)=(0,0),(±1/√2,±1/√2) →　極小0、極大1/2

行間は、テキストの例題見れば埋まると思う。
0478１３２人目の素数さん05/01/20 22:15:34
>>476
1/y^2は偶関数だから
0479１３２人目の素数さん05/01/20 22:16:48
>>477

間違った。(1,0)で極大値１、(±1/√2,±1/√2) で極小値1/2
0480１３２人目の素数さん05/01/20 22:17:45
>>477
死ね
0481１３２人目の素数さん05/01/20 22:19:12
>>479
つりじゃなかったのか・・・
048239105/01/20 22:20:53
おせーよ。ｵﾏｲﾗとっとと答えればいいんだよ
単位落したらテメーのせいだかんな　( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
048333005/01/20 22:20:57
＞＞４７８
ありがとうございます。
積分区間が０～２/πなのでいらないのだと思っていました。
もう少し考えてみます。
0484１３２人目の素数さん05/01/20 22:23:01
>>483
D={(x,y) | 0≦x≦cosω, x^2+y^2≧1}
はy=0で対称な積分区間だろ
0485１３２人目の素数さん05/01/20 22:28:04
>>482
ちゃんと単位を落としてくれ。
頼むよ。

間違っても単位を取るような事をしないように。
0486１３２人目の素数さん05/01/20 22:32:48
すいません。先日レスさせていただきましたが
まだちょっと理解できませんので解法をお願いします。
フーリエ級数の問題です。

f(x)=exp(a|x|)　(-π,π)
について以下の問いに答えよ。

（１）f(x)のグラフをかけ。
（２）f(x)のフーリエ級数を求めよ。


0487１３２人目の素数さん05/01/20 22:34:36
>>486
どこまでわかってないんだ？
(1)は高校生でもかけるだろ
0488１３２人目の素数さん05/01/20 22:37:14
すいません‥。（２）の解法をお願いします。
0489１３２人目の素数さん05/01/20 22:38:15
>>488
前回は何を教えて貰ったんだい？
0490１３２人目の素数さん05/01/20 22:40:53
↓の積分を計算すると、∫[1,0]y^2e^(y^(3/2))dy がでてきて解けません。
↓を求める以前に計算間違いしているんでしょうか。自分ではしていないようにみえるんですが。
∬y^3e^xydxdy.
dx [y^(1/2),1]. dy [0,1].　←積分区間です。
0491１３２人目の素数さん05/01/20 22:42:35
>>490
元々の問題は、y=x^2,x=1,x軸にかこまれる範囲で、y^3e^xyを積分せよというものです。
0492１３２人目の素数さん05/01/20 22:42:47
>>４８９

x=0軸に対称なグラフになる

f(x)=exp(ax) ,x>0
f(x)=exp(-ax) ,x<0

(2)
上の関数でフーリエ級数の定義に従って計算する


との事でした。
0493１３２人目の素数さん05/01/20 22:43:43
>>490
先に yで積分してみれば？
0494１３２人目の素数さん05/01/20 22:44:24
>>492
じゃ、とりあえず、フーリエ級数の定義を書いてみて
0495１３２人目の素数さん05/01/20 22:44:51
p,qを0<p<q<πを満たす実数とする。複素数αβを
α=cos(p)+isin(p),β=cos(q)+isin(q)
とおく。また複素数の列Z(1),Z(2),Z(3),・・・は
Z(1)=β，Z(n+1)=(α+Z(n))/|α+Z(n)|
を満たしている
(1)|Z(n)|,((Z(n))^2)/(αZ(n))の値を求めよ
(2)Z(n)の偏角をθ(n)(0≦θ＜2π)とするときθ(n)をp,qを用いて表せ


(1)の後半からわかりません。Z(n+1)に代入しても煩雑になるだけでできませんでした。
どなたかご教授おねがいいたします
0496１３２人目の素数さん05/01/20 22:45:04
>>488
f(x)は周期関数になってるのか？
それだとフーリエ級数にはできない
フーリエ変換ならできるが・・・
0497１３２人目の素数さん05/01/20 22:45:44
すいません質問です！

確率Xが1より小さいとき、

∞
Σ n(X)^(n-1)
n = 1

って、いくつに収束しますか？
おながいします。
0498１３２人目の素数さん05/01/20 22:46:18
>>493
yで積分するのは面倒だと思いますし、略解には先にxでやれと書いてありました。
（他には答えしか書いていなかったので、困っています）
0499１３２人目の素数さん05/01/20 22:48:02
>>490
一応確認だがy^2e^(xy)だよな？
050049705/01/20 22:51:09
ごめんなさい。
正しくは

∞
Σ n(1-X)^(n-1)
n = 1

でした。どなたかお願いします。
0501１３２人目の素数さん05/01/20 22:51:29
>>494

周期２πを持つ関数f(x)について

f(x)～a0/2+Σ[∞,n=1](an cos nx + bn sin nx)

右辺をf(x)のフーリエ級数という。


‥で間違いありませんでしょうか？


0502１３２人目の素数さん05/01/20 22:51:51
>>499
490の下のほうの積分では、y^3e^(xy)　です。（下のほうなら２ではないです）
問題のコメントには難しい積分はでてこない、とも書いてあるんですが・・。
0503１３２人目の素数さん05/01/20 22:56:25
>>501
で、anとbnを求めるための積分式を習ったと思うが
0504１３２人目の素数さん05/01/20 22:58:07
>>490
普通に部分積分して終わり。
0505１３２人目の素数さん05/01/20 22:58:56
>>502
部分積分で頑張れば委員でねぇかな
0506１３２人目の素数さん05/01/20 23:01:04
>>501
∫[-π,π] cosmxcosnx dx=πδ_nm
とかの直行性はしってるのか？
0507１３２人目の素数さん05/01/20 23:01:40
>>503

an=1/π∫[-π,π]f(x)cos nx dx

bn=1/π∫[-π,π]f(x)sin nx dx

(n=1,2,…)


‥このように習いました。
続いてお願いします。
0508１３２人目の素数さん05/01/20 23:02:17
>>507
そこまでわかってるならf(x)を代入して積分するだけだと思うが・・・
0509１３２人目の素数さん05/01/20 23:05:28
>>506
その辺りは習っていないです。
051049705/01/20 23:07:30
すいません、497ですがどなたかお願いします。
0511１３２人目の素数さん05/01/20 23:07:31
>>508
あ、ただ代入するだけですか！
ありがとうございます！
解いてみます！
0512１３２人目の素数さん05/01/20 23:07:39
>>509
直交性を知らないでa_n=～の式を導出したのはなぞだが
まぁf(x)が偶関数であることより
b_n=0
だから
まぁa_nを
a_n=2/π∫[0,π]e^(-ax)cosnx dx
を計算するだけ
0513１３２人目の素数さん05/01/20 23:08:50
貼っときます。

　　　　　　　　。|.　　　　　 　 |￣￣￣￣￣|
　　　　|　　|。　|ﾟ　　y　 　 　 |　 　 　 　鳴 |　───────┐
　　　　ﾟ|　　|　　|io i|　　　　　|　 　 　 　か |　　| | | | | | |　 　朝｜
　　　 。|　　ﾟi|　。i|,,ﾉ　 |i.　　 |　 　 　 　ぬ |　　| | | | | | |　 　日｜
　　 　.i|ﾟ　.||ﾟ　/ii 。 ﾟ|i_/ﾟ'　　 |　 　.鳴　.な｜ 　| | | | | | |　 　伝｜
　　　　｀ヽoー|i;|y-ノ　　　 　 |　 　.い.　.ら |　　| | | | | | |　 　聞｜
　　 　　　,;:i´i;ﾉ　　　　　　　　|　 　 た　　 ｜＿＿＿＿＿＿＿_｜
　　　　　('';ii'' 　 　 　 　 　 　 |　 　 と.　　 ｜|　 　 　 　 　 　 　 |.|
　　　　ノii;;| ,,.　　　　 　 　 　 | ホ　書. 　 .｜|　　／￣￣　ヽ,　 |.|
　　ii\ ∧＿∧ii;+ :::iii|| 　 　 . | .ト　 こ 　　｜|　/　　　　　 　 ',　|.|
　iiiｲ+(-@∀@）()　i;::|| 　 　 . | .ト　 う. 　 　|..| {0}　 /¨`ヽ　{0},　!.!
;;:iiii+ii（つ□ つ┃+:: || 　 　 . | ギ　　　　　 |..|.ｌ　　 ヽ._.ノ　　　', |.|
iiiｲ+ ,,と＿）__）、　　 旦~　　. | ス　　　　　｜ﾘ　　　｀ー'′　　 ',|.|
　⊂ニニニニニ⊃|￣￣|　 . |＿＿＿＿＿|..|　 　 　 　 　 　 　 |.|
0514１３２人目の素数さん05/01/20 23:10:41
>>500
1/x^2
0515１３２人目の素数さん05/01/20 23:11:08
>>512
どうもありがとうございます！
解いてみます！
0516１３２人目の素数さん05/01/20 23:12:26
>>504-505
∫[1,0]y^2e^(y^(3/2))dy　を部分積分するんですか？
二回してみても、y^(-1)*e^(3/2)がでてきて、e単独の式にはなりそうにないんですが。
e^(y^(3/2))*2/(3y^(1/2))　を微分すると　e^(y^(3/2))　になりますよね？
0517１３２人目の素数さん05/01/20 23:15:02
>>516
一、二行目のe^(3/2)は誤りでした。
三行目のeの肩と同じにしてください。
0518１３２人目の素数さん05/01/20 23:15:21
>>516
どうでもいいけどさ
∫[0,1] y^2(e^(y^(3/2))-e^y)dyにならなかったか？
まぁ１項目はわかりやすいようにz=y^(1/2)と変数変換して部分積分してみな
消えるから
0519１３２人目の素数さん05/01/20 23:15:43
>>517
すみません、一行目はあってました。何度もごめんなさい。
052049705/01/20 23:16:48
>>514
ありがとうございます。
なぜ、1/x^2になるのでしょうか？
このパターンに当てはまる収束の公式のようなものが
あるのでしょうか？質問ばかりですいません。
お願いいたします。
0521１３２人目の素数さん05/01/20 23:20:06
>>520
∞
Σ n(1-X)^(n-1)
n = 1
をめんどくさいからΣ_n
∞
Σ (1-X)^(n-1)
n = 1
をΣとかくと(1-X)<1より
Σ_n-(1-x)Σ_n=Σ
Σ_n=Σ/x

Σは高校のときにでも習ったろ
0522１３２人目の素数さん05/01/20 23:25:46
行列Ａ＝1 2
　　　 -1 5
の時、det[A]はいくらになるのでしょうか？

あと、
行列Ｂ＝-1 1
　　　　2 -1
の時、Ｂの逆数はいくらですか？
0523１３２人目の素数さん05/01/20 23:28:08
>>522
教科書嫁　detA=7
逆数なんて知らん逆行列のことか？
052452205/01/20 23:30:10
>>523
たぶんそれだと思います。
自分数Ｃをやってないもんで・・・。
0525１３２人目の素数さん05/01/20 23:31:38
>>524
行列式はやってるが、逆行列は知らないと？
052652205/01/20 23:32:58
>>525
いや、友人に聞いたところ、多分数Ｃの内容だろうといわれたんで。
むしろ数学苦手なんで行列とかイマイチわかってません。
スミマセン。
0527１３２人目の素数さん05/01/20 23:34:15
>>526
逆行列ならB^(-1)=11
　　　　　　　　　　　　21
0528１３２人目の素数さん05/01/20 23:37:23
フーリエ級数の問題の続きがありましたのでお願いします。

f(x)=exp(a|x|)　(-π,π)
について以下の問いに答えよ。

（３）次式でSnとFを定義する。

SN=a0^2/2+Σ[N,n=1](an^2+bn^2)
F=1/L∫[-L,L]f(x)^2dx

an(0≦n),bn(1≦n)はフーリエ係数であり、Lは周期の半分である。
このSnに対して次の不等式を満足する整数Nの値を求めよ。

①S[N-1]≦0.95F≦SN
②S[N-1]≦0.995F≦SN


（４）上記（３）の①から決めたNを用いて次の関数のグラフをかけ。

SN(x)=a0/2+Σ[N,n=1]{an cos (nπx/L) + bn sin (nπx/L)}

また、②から決めたNを用いたときのグラフもかけ。



0529１３２人目の素数さん05/01/20 23:37:25
>>518
二行目の式にマイナスをかけた形がでてきました。一方は簡単なので聞きませんでした。
何度もありがとうございます。でも、分かりません。消えないんです。
非常に面倒だとは思いますが、どうか計算式を書くので誤りをお教えください。
簡単のため不貞積分を計算します。∫は省略します。
部分積分の∫がはずれるほうは~で省略します。

z=y^(1/2)と変換すると、2z^5e^(z^3)dz=2z^5(e^(z^3)*1/3z^2)'dz=~-∫(10/3)z^2e^(z^3)dz

もう一度部分積分すると、z^(-1/2)がでてきて、終わりそうにありません・・。
0530一流大学05/01/20 23:39:22
>>526
行列の意味くらいわかれ。　列が縦で行が横でしょーが

もっと俺をﾜｸﾜｸさせてくれるような問題はここにないのかよ
0531１３２人目の素数さん05/01/20 23:39:38
>>529
∫(10/3)z^2e^(z^3)dz　は置換積分できますね。
ありがとうございました。これが勘違いでないことを祈ります。
053249705/01/20 23:39:48
>>521
ありがとうございます。
何度もすみません。
その式を計算してみたら、

　　 ∞
X * Σ(1-X)^(n-1)
　　n = 1

となったのですが、

∞
Σ(1-X)^(n-1)
n = 1

はいくつに収束するのでしょうか？
お願いします。
0533１３２人目の素数さん05/01/20 23:40:25
>>529
2z^5e^(z^3)dz=2z^5(e^(z^3)*1/3z^2)'dz
明らかにおかしい右辺を微分したらサ変になるか？

2z^3(z^2e^(z^3))とくくってやれ
053449705/01/20 23:41:52
失礼しました。>>532の最初の式の頭はXではなくて、(1/X)でした。
0535１３２人目の素数さん05/01/20 23:42:31
>>532
高校の教科書でも探して来い・・・
0536１３２人目の素数さん05/01/20 23:42:47
>>532
等比数列の和の公式、級数の定義など。
0537１３２人目の素数さん05/01/20 23:43:45
495
定義から|Z(n)|は1であり、また図を描くと
Z(n)の偏角をmとして、Z(n+1)の偏角は
(m+p)/2
であることがわかる。
よってθ(n)=p+(q-p)/(2^(n-1))

(1)の後半はよくわかりません。
0538１３２人目の素数さん05/01/20 23:46:49
>>533
そうでした。あほでした。なりません。
2z^5e^(z^3)dz=1/3z^2*2z^5(e^(z^3))'dz 　だと思いますが、
これだとやっぱり終らない気がします。でも一応計算してみます。

最後の文章は意図がわかりません。すいません。
0539１３２人目の素数さん05/01/20 23:47:01
曲線ｙ=ｓｉｎ2ｘ（0≦ｘ≦π/2）とｘ軸で囲まれた部分の面積が
曲線ｙ=ｋｃｏｓｘで２等分されるようなｋの値を求めよ

解き方すら解りません
途中の式も書いてくれるとありがたいです
よろしくお願いします
0540１３２人目の素数さん05/01/20 23:48:07
>>538
あ、大丈夫でした。やはり一度部分積分した後に置換積分でよいんですか。
よければレスなしでお願いします。
0541１３２人目の素数さん05/01/20 23:50:04
>>538
右辺≠サ変だぞ・・・

(e^(z^3))'=3z^2e^(z^3)だろ
0542help me05/01/20 23:50:32
助けてください。

12枚の500円コインに重さの異なる偽コインが1枚混じっており、
その重さは軽いか重いか不明であるとする。それを1台の天秤を使って
最小の天秤使用回数で求めよ。最低何回使えばよいか？？

どうもわからないです。木グラフを用いると求まるみたいなのですが、
やってもうまくいきません。どなたかHELPです。
0543１３２人目の素数さん05/01/20 23:52:22
>>542
http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Club/7442/math/index.html#coin2
054449705/01/20 23:53:21
みなさまありがとうございました。
「等比数列の和の公式」でぐぐったら見つかりました。
結局

∞
Σ(1-X)^(n-1)
n = 1

は、1/xになるのですね。
本当にありがとうございました。

マジで頭いい人ばっかりです。
0545１３２人目の素数さん05/01/20 23:55:56
>>541
ごめんなさい。分かりません。
2z^5e^(z^3)dz=(1/3z^2)*2z^5(e^(z^3))'dz　じゃないんですか？
2z^5とdzをけすと、
e^(z^3)=(1/3z^2)*(e^(z^3))'
3z^2を両辺にかけると、
3z^2*e^(z^3)=(e^(z^3))'
となると思うんですが・・。
0546１３２人目の素数さん05/01/20 23:57:03
>>545
ああ、見間違えてたそれでｲｲねｽﾝﾏｿﾝ
0547１３２人目の素数さん05/01/21 00:01:03
誰か>>495答えてやれよ
0548１３２人目の素数さん05/01/21 00:02:01
>>547
お前が答えてやれば？
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