>>232
f(x) ≡ 0でないとする。
f(p) = 0となるpがあるならば
f(x) = f(p)f(x-p) = 0となるので f(x)≠0
f(x) = {f(x/2)}^2 > 0
f(0) = f(0)^2よりf(0) = 1
f(x)f(-x) = f(0) = 1
f(-x) = f(x)^(-1)
a = f(1)と置くと

f(x+1) = f(x)f(1) = a f(x)
自然数 m, nに対し
f(nx) = f((n-1)x)f(x) = … {f(x)}^n
f(x) = {f(nx)}^(1/n)

f(m/n) = { f(m) }^(1/n) = { f(1)^m }^(1/n) = a^(m/n)

したがって、xが有理数であるとき
f(x) = a^x (a > 0)と表される。

有理数はR上、稠密に分布しており
f(x) は 連続であるため、f(x) = a^xと書ける