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[解421]
(a) ∠A, ∠B, ∠D ≦π としてよい。∠A の内部の点Eを、△ABE と △ACD が等角になるようにとる。　　
　　△ABE ∽ △ACD　　･････　(1)
　だから、AB:AC = AE:AD そして ∠BAC = ∠EAD.　ゆえに二辺夾角の相似定理により
　　△AED ∽ △ABC　　･････　(2)
　(1)から AB･CD = AC･BE,　(2)から AD･BC = AC･ED を得る。
　辺々加えて、AB･CD + AD･BC = AC･(BE+ED) ≧ AC･BD.

　小平邦彦: ｢幾何のおもしろさ｣　数学入門ｼﾘｰｽﾞ 7, 岩波書店 (1985), 定理111, p.252-254
　矢野健太郎: ｢幾何の有名な定理｣ 数学ﾜﾝﾎﾟｲﾝﾄ双書36, 共立出版 (1981), p.47-48

(a) 複素数平面を考え、A,B,C,D に対応する複素数を a,b,c,d とする。
　(b-a)(d-c) + (d-a)(c-b) ≡ (c-a)(d-b). 　　(← ﾔｺﾋﾞの恒等式)
　∴ |b-a|･|d-c| + |d-a|･|c-b| ≧ |c-a|･|d-b|.

　栗田 稔: ｢数学100の定理｣ 数ｾﾐ増刊, p.16 (1983)

(b) AC,BDに平行な平面Π上に射影する。 右辺は減少し、左辺は元のまま。