>>423
[429]の改良
(略証) yはxとzの間（端点も含む）にあるとしてよい。 このとき M = (x+y+z)/3 もxとzの間にある。

(i) yがxとM の間にあるとき、　x, y, M, (z+x)/2, (y+z)/2, z の順。
　∴ 線分(M、f(M))−(z,f(z))は 線分((z+x)/2,f(…))−((y+z)/2,f(…)) より上にある。
　∴ f(z) + 3f(M) ≧ 2f((y+z)/2) + 2f((z+x)/2).
　一方、f(x) + f(y) ≧ 2f((x+y)/2).
　辺々たす。

(ii) yがMとzの間にあるとき、　x, (x+y)/2, (z+x)/2, M, y, z の順。
　∴ 線分(x、f(x))−(M,f(M))は 線分(x+y)/2,f(…))−((z+x)/2,f(…)) より上にある。
　∴ f(x) + 3f(M) ≧ 2f((x+y)/2) + 2f((z+x)/2).
　一方、　f(y) + f(z) ≧ 2f((y+z)/2).
　辺々たす。 　　　　　　　　　　　　　　(終)