(1) 非負実数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、
　 2 ≦ √{(1-a)/(1+a)} + √{(1-b)/(1+b)}+ √{(1-b)/(1+b)}+ ≦ 1 + 2/√3

(2) 正の実数 a, b, c, d が a+b+c+d=1 をみたすとき、
　 abcd/{(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)} ≦ 16(abc+bcd+cda+dab)/81

(3) 非負実数 a, b, c に対して
　 a^3+b^3+c^3+3abc ≧ ab√(2a^2+2b^2) + bc√(2b^2+2c^2) + ca√(2c^2+2a^2)

(4) 非負実数 a, b, c に対して
　 (a^3+b^3+c^3+3abc)^2 ≧ 2(ab+bc+ca){ab(a^2+b^2) + bc(b^2+c^2) + ca(c^2+a^2)}

(5) 0 < a, b, c < 1、ab+bc+ca=1 に対して、a+b+c+abc のとりうる値の範囲をキボンヌ。
　 http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2004/n6/PDF/v30n6syn.pdf

(1)は凸不等式だろうけど、エレガントなのはないでしょうか？
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彡　　　　 ／　　≧　＼　　　　彡　ﾋﾞｭｩ……
　　彡　　 |:::　 ＼ .／ |　　彡
　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　軽めのネタを仕入れてきました
　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　 　 　
　　　 　 　 人つゝ 人,,　　　　　　　　
　　　　　 Ｙノ人　ノ ノノゞ⌒〜ゞ 　　　
　　　 .　 ノ /ミ|＼、　　　 ノノ　（　彡
　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
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