>354-355
[IMO 2005, Problem 3]
　正の実数x,y,z があって xyz≧1 とせよ。このとき次を示せ。
　(x^5-x^2)/(x^5+y^2+z^2) + (y^5-y^2)/(x^2+y^5+z^2) + (z^5-z^2)/(x^2+y^2+z^5) ≧ 0.

(略証) xyz≧1 を使って分子・分母を同次形に直す。
　x^5 -x^2 ≧ x^5 -(x^2)xyz = x{x^4 -(x^2)yz} ≧ x{x^4 -(x^2)(y^2+z^2)/2}
　≧ x(2x^2 -y^4 -z^4)/4,
　0 < x^5 + y^2 +z^2 ≦ x^5 + (y^2 +z^2)xyz = x{x^4 +(y^2 +z^2)yz}
　≦ x{x^4 +(1/2)(y^2 +z^2)^2} ≦ x(x^4 +y^4 +z^4).
　∴ (x^5 -x^2)/(x^5 +y^2 +z^2) ≧ (1/4)(2x^4 -y^4 -z^4)/(x^4+y^4+z^4).
　これを循環的にたす。等号成立は x=y=z=1 のとき. (終)