【ガブリエルのラッパ】表面積が無限だが体積は有限

0001１３２人目の素数さん

NGNG

y = 1/x （1 ≦ x ＜ ∞）を x 軸の周りで回転して得られる回転体を考えると、
体積は有限（π）だが、表面積は無限！

「ガブリエルのラッパ」（または「トリチェルリのラッパ」）というみたいだが、これ不思議じゃね？

参考ページ：
http://mathworld.wolfram.com/GabrielsHorn.html
http://www.h33.dk/gabriel_index.en.html
http://curvebank.calstatela.edu/torricelli/torricelli.htm

0002１３２人目の素数さん

NGNG

　～～～終了～～～

0003１３２人目の素数さん

NGNG

たしかに不思議な感じがするね。計算は簡単だけど。

0004１３２人目の素数さん

NGNG

位相幾何では変な図形がよく出てくる…

0005１３２人目の素数さん

NGNG

>>1
有界じゃなければあんま不思議な気がしないんだけど。
∫[0,∞]f(x)dx が有限の値を取ることがあるのと大して変わらん。

0006１３２人目の素数さん

NGNG

中を埋め尽くすブロックは有限個あればいいのに、表面を埋め尽くすパネルは無限に必要というパラドックスは
どう解決されるの？

0007１３２人目の素数さん

NGNG

>>5
>∫[0,∞]f(x)dx が有限の値を取ることがあるのと大して変わらん。
確かに数学的にはそれとあまり変わりがないかも。

ただ、
「面積」有限の領域の断線が「長さ」無限の直線になる
ってのはそれほど不思議な感じがしないんだけど、
「体積」有限の領域の断面が「面積」無限の領域になる
ってのは不思議な感じがするのは何故だろう？
単に慣れの問題か？

0008１３２人目の素数さん

NGNG

フラクタルな図形でいくらでもありそうだ

0009１３２人目の素数さん

NGNG

こういうのがあるから積分可能かどうかのチェックを１、２年の解析できっちりやらされるわけか

0010伊丹公理 ◆EniJeTU7ko

NGNG

>>8
なめらかな物もあるよ。
y = x^2*sin^2 (x^(-100))
のグラフの [0, 1] での長さと面積

あるいは
y = sin^2 (x^100)
で、 [1, ∞]

0011伊丹公理 ◆EniJeTU7ko

NGNG

後半訂正
あるいは
y = sin^2 (x^100)/x^2
で、 [1, ∞]

0012伊丹公理 ◆EniJeTU7ko

NGNG

もし正値がお望みなら、
y = e^(-x) + sin^2 (x^100)/x^2
等色々改造できる。

0013１３２人目の素数さん

NGNG

>>1
不思議でないように解釈する方法もあるから、
もっと勉強してみ

0014１３２人目の素数さん

NGNG

>>13
詳細きぼんぬ

001513

NGNG

天の国からラッパを吹き鳴らす天使ガブリエルの肺活量を考えるんだな

0016|дﾟ)

NGNG

そりゃ，数学的には珍しくもなんともなくって不思議じゃないとか言ってもさ，
無限が生み出す変な感じが中学校で習う反比例のグラフを回してつくったラッパみたいな見た目単純な図形でも現す
という意味で面白い例だと思いました

0017１３２人目の素数さん

NGNG

>>13
「不思議でないように解釈する方法」書いてみろよ。
お前本当はわかってねーだろ

0018１３２人目の素数さん

NGNG

体積が有限でも数学では引っ張りまくって表面積を無限にできるってだけの話じゃﾈｰﾉ？

0019１３２人目の素数さん

NGNG

こういう変な図形ってよくあるよね。エキゾチックな球面とか

0020１３２人目の素数さん

NGNG

表面積が有限で体積が無限っていう図形はあるの？

0021１３２人目の素数さん

NGNG

球の外側

0022１３２人目の素数さん

NGNG

球の外側は囲えきれてない感じだもんなぁ。

0023１３２人目の素数さん

NGNG

じゃあコンパクトの条件を付けたら，あるかな？

0024１３２人目の素数さん

NGNG

>>18
確かにそうなんだけど、なんか「体積」と「面積」だと不思議な感じがするんだよね。
1 と本質的に違う方法で、「体積有限な立体を引っ張りまくって表面積を無限にする」
例をいろいろ挙げてみたら不思議じゃなくなるかも。

0025１３２人目の素数さん

NGNG

表面積じゃなくて、断面の面積が無限っていうほうがより不思議な感じがする。

y = 1/x （1 ≦ x ＜ ∞）と x 軸で囲まれる部分の面積は無限になる、でも、
それをx軸の周りで回転させると体積は有限になる、っていうと、えっ？て
感じしない？

0026１３２人目の素数さん

NGNG

中卒哲厨の１さんがんばれ

00271

NGNG

>>26
院卒数オタなんですけど。

0028１３２人目の素数さん

NGNG

院卒数ヲタさんがんばれ

0029１３２人目の素数さん

NGNG

>>23
ユークリッド空間じゃコンパクト＝有界閉集合だから無理じゃないの？

0030１３２人目の素数さん

NGNG

>>25
面積有限の図形を有限距離移動させた軌跡の体積は有限だが、
逆に、面積無限の図形を有限距離移動させた軌跡が有限になるのは何の
不思議でもない。今の場合、管の先のほうほど移動距離が短い。

00311

NGNG

>>30
まあそうなんだけどね・・・
ただ、中高生向けのもっとうまい直感的な説明はないかな？
式で示したり、>>30 のような説明をしても、いまいちこの不思議さは解消できないような気がする。

0032１３２人目の素数さん

NGNG

>>30
> 逆に、面積無限の図形を有限距離移動させた軌跡が有限になるのは何の
> 不思議でもない

エエーッ？！！

0033挑発痴女

NGNG

>>30
俺は十分不思議だ
お前はいい素質があるぜ

0034１３２人目の素数さん

NGNG

y=1/(1+x^2) とy＝ー1/(1+x＾2)の曲線の弧長はそれぞれ無限大だが、
間に挟まれた面積は有限。

0035１３２人目の素数さん

NGNG

「面」（2次元図形）は、3次元以上の空間の中では測度0であるにもかかわらず、
なんとなく「量」を常に持ってる感じがする。

一方、「線」（1次元図形）は、1次元で考えれば長さという「量」を持っているにもかかわらず、
なんとなく「量」を持っていない感じがする。

ここらへんのイメージの違いが関係しているような・・・

0036１３２人目の素数さん

NGNG

凄く難しい問題かと思ったら俺でも理解できた。
不思議。

0037１３２人目の素数さん

NGNG

>>34
だから、それは別に不思議じゃないんだが。

「無限の長さの線から有限の面積の面を作る」のはあんまり不思議じゃないが、
「無限の面積の面から有限の体積の立体を作る」のは不思議な感じがするのは
何故か、ってのを話したい。

0038伊丹公理 ◆EniJemcBeU

NGNG

>>37
>「無限の面積の面から有限の体積の立体を作る」のは不思議な感じがするのは

錯覚だろ。

0039伊丹公理 ◆EniJeTU7ko

NGNG

>>38
偽者。　私は
>>10-12に書いた。

0040１３２人目の素数さん

NGNG

伊丹公理の偽者は何をしたいんだ・・・？

0041１３２人目の素数さん

NGNG

ちなみに、本物も何がしたいんだい？

0042１３２人目の素数さん

NGNG

表面に水の層でもいいし、分子吸着でもいいのだが、うっすらとどんなの
薄くても有限の厚みの皮膜ができたとたんに、その皮膜の体積は無限大に
なる。ところが皮膜の内側の体積は有限だから違和感がするのかもしれない。

無限に広がった平面を考えてみよう。裏表があるとしてもよいが、とにかく
表面積は無限大だが、体積は0だ。

0043１３２人目の素数さん

NGNG

>>7
Xが面積有限周長無限の面であれば
Xと閉区間[0,1]の直積は体積有限表面積無限の立体になる。
Xの存在が不思議でなければX×[0,1]の存在も
それほど不思議ではないだろう。

0044１３２人目の素数さん

NGNG

>>37
フラクタルなら…

0045１３２人目の素数さん

05/01/17 07:04:29

糞スレかなと思ったら、勉強になりました。
知的な糞スレですね。

0046１３２人目の素数さん

05/01/17 08:02:55

>>25
しない。∫[0,∞]f(x)dx が無限でも
∫[0,∞](f(x))^2dx が有限の値を取ることがあるのと大して変わらん。

0047１３２人目の素数さん

05/02/16 05:56:51

816

0048BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU

05/02/22 20:07:30

sin(1/x),0<x<1
は有界変動ではない。

0049１３２人目の素数さん

05/02/22 20:51:53

ddΩ=dA->無限

0050１３２人目の素数さん

05/02/24 12:41:43

tanakaのラッパ

0051１３２人目の素数さん

05/02/24 13:03:22

太田ラッパ

0052１３２人目の素数さん

05/03/06 14:43:50

571

0053１３２人目の素数さん

05/03/06 20:03:19

ガブリエルこのラッパ吹けないよな？
仮に吹いたとしても空気の分子がとおｒないしな、、、

0054１３２人目の素数さん

05/03/06 20:10:44

端がないのにどこから吹くんだよ？

0055１３２人目の素数さん

05/03/06 20:12:29

横笛

0056１３２人目の素数さん

05/03/17 08:34:15

285

0057１３２人目の素数さん

05/03/17 14:33:13

>>55
穴開けるのかよｗ

0058１３２人目の素数さん

2005/03/29(火) 09:53:45

349

0059１３２人目の素数さん

2005/04/13(水) 16:31:01

431

0060BlackLightOfStar ◆BUG4TDA93k

2005/04/13(水) 23:22:43

age

0061BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU

2005/04/14(木) 14:09:24

Re:>60 お前誰だよ？

0062１３２人目の素数さん

2005/05/02(月) 19:33:53

177

0063１３２人目の素数さん

2005/05/02(月) 20:52:08

表面積は有限だが体積は無限ってのはあるんか？

0064１３２人目の素数さん

2005/05/02(月) 23:52:31

じゃあ、このラッパ(浸透膜でできてる)にペンキを入れると
体積有限→ラッパはペンキでいっぱいに。
表面積無限→浸透膜から染み出てきて、ペンキ足らない・・・？

0065１３２人目の素数さん

2005/05/02(月) 23:53:25

なんか物理的に考えるとへんなことになりそうだ

0066１３２人目の素数さん

2005/05/04(水) 02:33:22

>>64
有限の時間じゃ表面積が有限の部分までにしかペンキが届かないんじゃないの？

0067１３２人目の素数さん

2005/05/04(水) 03:55:19

ｘに1/xを掛けると有限確定するからさほど不思議じゃない。

無限大の表面積に1/xみたいなのが掛けられるから体積有限確定になるのだろう

0068１３２人目の素数さん

2005/05/04(水) 19:30:17

収束する等比数列と似てなくない？
たとえば、1+(1/2)+(1/4)+(1/8)+･･･＝２
項は無限個あるが、値は収束する（総面積は有限みたいな）。

0069１３２人目の素数さん

2005/05/07(土) 02:02:29

マンデルブロー集合（の回転体）なんかを考えると大して不思議ではない。

でもこういう簡単な図形だと直感が狂ってくるんだなあ。

0070１３２人目の素数さん

2005/05/07(土) 23:35:32

age

0071１３２人目の素数さん

2005/05/08(日) 05:36:10

>>69
直感が狂わされるだけでも、十分「不思議」の範疇に入りそうだが。

0072１３２人目の素数さん

2005/05/09(月) 20:18:26

>>63
フラクタル

007372

2005/05/09(月) 20:19:02

ごめん勘違いスルーして

0074１３２人目の素数さん

2005/05/30(月) 22:56:38

352

0075１３２人目の素数さん

2005/06/04(土) 02:23:07

「表面積が無限なのに体積が有限」
体積が有限どころか０になる極限メンガースポンジみたいな
フラクタル立体なら却ってわかりやすいんだけど、こういう
素直な形状のものでそうなるってのが日常感覚に反してるので
面白いんだろうね。
日常感覚がダマされる根本原因はx→∞という操作の非日常性、
それに面積と体積ってものの日常的認識の枷にあるんだろう。
∞まで行かなくても、誰も開口部半径１ｍで長さが10万光年
あるラッパなんて考えもしないだろうから。

良スレage！(・∀・)

0076１３２人目の素数さん

2005/06/04(土) 13:22:23

tanakaのラッパ

0077１３２人目の素数さん

2005/06/26(日) 00:58:04

356

0078１３２人目の素数さん

2005/07/04(月) 12:54:32

>>64
分子よりは小さくなれないでしょ

0079１３２人目の素数さん

2005/07/04(月) 19:34:45

age

0080１３２人目の素数さん

2005/07/04(月) 20:55:31

ローマン曲面とボーイ曲面を見たいのですが…

0081１３２人目の素数さん

2005/07/04(月) 20:57:03

>1のリンク先が全部みれないぞ！

0082１３２人目の素数さん

2005/07/04(月) 21:05:06

>>64
納得いく答えは見つかったのですか？

0083１３２人目の素数さん

2005/07/04(月) 22:18:29

＞表面積は有限だが体積は無限
ないんじゃない？

0084ogawa

2005/07/05(火) 00:09:42

＞＞１
体積が収束するなら表面積も収束する気がするけど。
表面積が無限てのはどう計算して出されるの？

収束させて結果を出すという方法のあやな気がする。
そもそも、体積がπというのもあやしい。体積も無限な
気がするけど。どんなに細くなっていっても体積はあって、
その全体の量なんだから無限なんじゃないか？
Σ1/xだって収束しないじゃん。

0085１３２人目の素数さん

2005/07/05(火) 02:41:05

( ﾟ∀ﾟ ) ﾆﾔﾆﾔ

0086１３２人目の素数さん

2005/07/05(火) 03:08:58

そもそも面積ってのは二次元での量で体積ってのは三次元の量だから、相関関係はありそうでないと思っていいな

0087１３２人目の素数さん

2005/07/05(火) 21:54:45

(　ﾟ∀ﾟ　) ﾆﾔﾆﾔ

0088ogawa

2005/07/06(水) 22:58:52

わかた。
回転しなくてもで考える。線の長さは無限じゃん。
面積はどんどん少なくなるから収束するぽ。
この関係は次元が上がっても変わらない！

こんどルパンのTV映画あるね。みんなみろよー。

どんどん少なくなる長さでないものは収束する！！！
っても、３種類しかないか。長さ、面積、体積。
どんどん少なくなる面積は収束する。
どんそん少なくなる体積は収束する。
この２つを「どんどん定理」という。広く知られているね。
証明は、、、？

長さは収束しない。
だから、僕達は宇宙の果てに行ける！！！！！！！！！
ぶらぼーっ！やっはー！

0089１３２人目の素数さん

2005/07/06(水) 23:30:41

(　ﾟ∀ﾟ　) ﾆﾔﾆﾔ

0090ogawa

2005/07/07(木) 00:51:14

また、ちょっと考えた。
０．９＋０．０９＋０．００９＋・・・って
１に収束するって言うじゃな～い。
無限級数だからといって、発散するわけでもないね。残念。
１が収束するように無限級数で表されるから、あらゆる数は
無限級数で表されるっていう女、、、。ハァ！？
でも許す。
一方、発散する数は、発散しない数に無限を組み合わせて考えられる。
間違いない。
つまり、発散する数も発散しない数も無限級数で表される。こう思うのって
私だけ～？
であるからして、結局、ある無限級数が発散するかどうかは半々だな。
だから、不思議ではない。
長さとか面積とか体積とか抜きで、そもそも半々なんだから、
不思議ではない。

押忍。

0091１３２人目の素数さん

2005/07/07(木) 12:42:24

このスレも終わりだなぁ…
馬鹿が住み着いたよ

0092１３２人目の素数さん

2005/07/09(土) 12:45:27

age

0093１３２人目の素数さん

2005/07/09(土) 17:04:32

馬鹿とは誰の事だ？

0094１３２人目の素数さん

2005/07/20(水) 21:56:52

>>1
他にも面白いネタをキボンヌ！
(´д｀；)ﾊｧﾊｧ

0095１３２人目の素数さん

2005/07/21(木) 02:34:35

>>94
面白いﾈﾀなら、この板の中に
「ｼﾙﾋﾞﾝｽｷｰ・ｷﾞｬｽｹｯﾄのおかしい点を挙げる」って言うｽﾚが建ってる
(正式名称はｼﾙﾋﾞﾝｽｷｰ・ｷﾞｬｽｹｯﾄじゃなくてｼｪﾙﾋﾟﾝｽｷｰのｶﾞｽｹｯﾄなんだけど)

0096１３２人目の素数さん

2005/08/05(金) 18:50:53

381

0097１３２人目の素数さん

2005/08/16(火) 21:23:09

体積が無限で面積が有限という図形はないよ。

0098１３２人目の素数さん

2005/08/16(火) 21:39:04

コピペスレ「おいらには解けない４」にもあった「ガブリエルのラッパ」

775 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/08/12(金) 03:34:44
魔獣ネコマタが１体あらわれた。
http://vista.x0.com/img/vi00975.jpg

┏どうぐ━━━┓
┃　.たたかう.　.┃
┃　.はなす　.　.┃
┃　.あいてむ　.┃
┃┏━つかう━━━━━━┓
┃┃　Ｅえんぴつ　　　　 ┃
┃┃　Ｅけしごむ　　　　　┃
┗┃　Ｅめがね..　　　　　　┃
　 ┃　Ｅけいさんようし　 ┃
　 ┃　かいせきがいろん　┃
　 ┃　ガブリエルのラッパ┏━━━━━━━━━━━━━━┓
　 ┃　メビウスのわ　　　 ┃クラインのつぼをつかいますか？ ┃
　 ┃→クラインのつぼ　　 ┃→　はい　　　　　　　　　　　　　 ┃
　 ┗━━━━━━━━━ ┃　　　いいえ　　　　　　　　　　　　　 .┃
　　　　　　　　　　　　　　　　 ┗━━━━━━━━━━━━━━┛
┏━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
┃ネコマタをクラインのつぼにとじこめた　　　　　　　　　.┃
┃ネコマタはするりとにげた　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
┃とらえられない…　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
┃ネコマタはさっていった　　　　　　　　　　　　　　　　　　.┃
┃　　　　　　　　　　　　　▼　　　　　　　　　　　　　　　　 ┃
┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┛

0099１３２人目の素数さん

2005/08/17(水) 08:37:22

>>1
がぶり寄りのラッパ　に見えた

0100１３２人目の素数さん

2005/10/08(土) 11:46:49

579

0101１３２人目の素数さん

2005/10/12(水) 02:43:06

>>98
この画像が見たいのでつが…