y=x^3-6x^2+9x と、 y=m が x≧0 の範囲で異なる三点で交わり、
更に曲線と直線で囲まれる二箇所の部分の面積が等しくなるようにmの値を定め
よ。

えぇと、まず3次関数のグラフについて、
(与式)=0の時、x=0,3(重解)

3点で交わるための条件として、
m<f'(0)=9 m<9
m<f'(3)=0 0<m　∴0<m<9

更に、mx=x^3-6x^2-9xが異なる3解を持つ
移項・因数分解して、x-0,x^2-6x-(9+m)=0
判別式もやりましたが求まった範囲は意味無し(x>-8)
解と係数の関係から、
αβ=-9-m
α+β=6　これも意味はあるのか・・・？

次に、囲まれた二部分の面積が等しくなるための条件(この辺からかなり危う
し）
図の交点を(0,0)(α,y1)(β,y2)とおく(α＜β)

∫α0(x^3-6x^2+9x)-∫α0(mx)dx=∫βα(mx)-∫βα(x^3-6x^2+9x)
この計算を進めて、
-32α^3+(6-6m)α^2+3β^4-8β^3+(54-6m)β^2=0

・・・詰まってしまいました。
この積分の計算がそもそも間違っているだけでしょうか？
どうも指針が間違っているような気がするのですが・・・ご教示お願いします。