>>68
0≦x≦1において
0≦x^m≦1だから


|∫[x=0, 1] (x^m(logx)^n)dx　|
≦Ｉ＝∫[x=0, 1] |x^m(logx)^n|dx　
≦∫[x=0, 1] |(logx)^n| dx
=∫[x=0, 1] ((-logx)^n)dx　

I(n) = ∫[x=ε, 1] ((-logx)^n)dx　
= ε (-logε)^n + n I(n-1)

ε (-logε)^nはロピタルを繰り返し用いれば収束が分かり
I(0) = 1であることから。I(n)の収束が帰納的に分かる。