まず、L=k(x,y,z)だろ。
g=A/Bとあらわしておく。但し、AとBはk[x,y,z]の多項式。

C=(B^sの積)、ここで s は群Gの元をすべて走る。
そして、C=BDとあらわしておき、E=ADとおくと、
g=(AD)/(BD)＝E/Cである。

Cはinvariantだから、(C^sの和)＝｜G｜C　＝/＝０　である。

g:invariant　<=>　任意の作用sに対し、g=E/C=(E^s)/(C^s)


よって、g＝（E^sの和)/(C^sの和)=(invariant多項式)/(invariant多項式)

以下略。（ｋに依存するが、invariant多項式のすべては簡単に決定できる。）