>>186
a(n) = Σ_{k=0 to n} (1/k!)とする。
n→∞の時 a(n) →e

e - a(n) = Σ_{k=(n+1) to ∞} (1/k!)
＜　(1/(n+1)!) Σ_{k=0 to n} (1/(n+1))^k
= (1/(n+1)!) ((n+1)/n) = 1/(n! n)

eが有理数で e = m/n (m,nは互いに素) と書けるならば

(n!)(e-a(n)) = (n!)e -(n!) a(n) は整数であり
0 < (n!)(e-a(n)) < (1/n)
だから、

e は nを分母とする分数では書けない。
つまり、e = m/nとは書けず矛盾。したがって、 eは無理数。