>>11
ヒント１：

x^2+y^2+z^2 ...... (1)
(3/5)(x-2y)^2+(1/3)(2x+y-z)^2+(4/15)(2x+y+5z)^2 ...... (2)

はどちらも非負値の二次同次式なので、
x^2 + y^2 + z^2 = 1 での (2) 最小値が、求める最小値。
最大値の二倍が求める最大値。

ヒント２：

(2) の係数ベクトル (1, -2, 0), (2, 1, -1), (2, 1, 5)
はどの二つも直交する。