>>105
y'' + 3y' +9y = 0の特性方程式 k^2 +3k+9 =0を解いて
その解を a, bとすれば
この微分方程式の一般解は y = c1 exp(ax) + c2 exp(bx)と書ける
c1, c2は積分定数

y'' + 3y' +9y = sin(x)の特殊解を何でもいいから一つ取る。

例えば y = c3 sin(x) + c4 cos(x)とでも置いて代入し、 c3とc4を係数比較によって求めればよい。

最後に
y'' + 3y' +9y = exp(2x) の特殊解を何でもいいから一つ取る。
y = c5 exp(2x)とでも置いて代入し、c5を係数比較によって求めればよい。

y'' + 3y' +9y = 0の一般解
y'' + 3y' +9y = sin(x)の特殊解
y'' + 3y' +9y = exp(2x) の特殊解

が求まったらそれを足し合わせると
y'' + 3y' +9y = sin(x)+exp(2x) の一般解が求まる。