微分方程式y'=f(x,y)は、ｆが[a,b]*[c,d]の形の長方形領域Rで連続かつ、yに関してリプシッツ条件をみたすとき、
Rで一意に解が存在する
と本にありました。

別の本には、Rでｆ、f_yが連続かつ有界のとき一意に解が存在するとありました。
そして、ｆが有界である条件は、yについてのリプシッツ条件というより弱い条件に置き換えられるとありました。

質問ですが、
Rで、f,f_yが連続、ｆ有界、fがｙについてリプシッツ条件をみたす
⇔
Rで、ｆが連続、ｆがｙについてリプシッツ条件をみたす
が成立するようですが、どうしてですか？

後者から前者の証明で、ｆが有界なのは分かりますが、なぜf_yが連続なんですか？