>>769
(1)
{fi;i=1〜n}:="{fi;i=1〜k}をR^nの正規直交基底に拡張したもの"
x=Σ[i=1〜n](xi)fi , y=Σ[i=1〜n](yi)fi (xi,yi∈R) とおけば
|x-y|^2=Σ[i=1〜n](xi-yi)^2
y∈W とすると yi=0 (i=k+1〜n) であり このとき
|x-y|^2=Σ[i=1〜k](xi-yi)^2+Σ[i=k+1〜n](xi)^2≧Σ[i=k+1〜n](xi)^2
等号成立は yi=xi=(x,fi) (i=1〜k) となる時であり
y=Σ[i=1〜k](x,fi)fi が求めるものである。
(2)
|x|^2=Σ[i=1〜n](xi)^2≧Σ[i=1〜k](xi)^2=Σ[i=1〜k]|(x,fi)|^2
等号成立条件は xi=0 (i=k+1〜n) つまり x∈W