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E[X}=∫{0,∞} X*P{X}
また、P(X>k)=Σ[n=K,∞] P{n<X<n+1}に注意すると
Σ[k=1,∞]P(X>k)=Σ[k=0,∞] k*P{k<X<K+1}
Σ[k=0,∞]P(X>k)=Σ[k=0,∞] (k+1)*P{k<X<K+1}
（Σの入れ替えについては別途論証が必要と思う）
後はよくある、積分と階段状の足し合わせの比較。