解析概論の内容を今から見ると古くなっている部分、
例えばコーシーの定理の証明とか、について新しく附録で補足するとしたら
他にどんなところをどうするべきでしょうか？

例えば「コーシーの定理については、
1944年のエミール・アルティンの論文を参考にしたアールフォルスの教科書
（回転数を使う方法）のような形が多いので、この証明を附録にするべき」という感じで。