『解析概論』について２
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0001１３２人目の素数さん
NGNG最近暇だから、『解析概論』↓
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4000051717/qid=1012121224/sr=1-1/ref=sr_1_2_1/249-1734281-7702705
をやろうかなと思ってるんですけど、
これって何の本ですか？
前スレ
『解析概論』について
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1012121435/
0175１３２人目の素数さん
05/02/22 22:13:160176吉祥院
05/02/22 22:19:22＞やっぱ『初等整数論講義』が最高だな
そうですなぁ。これはまぁ、高木貞治の得意分野ということで、
そこそこの出来かと。
0177１３２人目の素数さん
05/02/22 22:22:02いまも売ってるの？
0178１３２人目の素数さん
05/02/22 22:58:060179１３２人目の素数さん
05/02/23 12:55:170180１３２人目の素数さん
05/02/25 07:58:180181１３２人目の素数さん
05/02/26 01:32:00amazonで数理解析教程で検索したけどない言われた。日本語訳はない or 絶版？
>>174
数理解析って、クーランヒルベルトみたいに変分法とか積分方程式が書いてあるの？
まーでも３倍じゃ教科書というより辞典的本かな。
0182吉祥院
05/02/26 03:35:38原本は
Edouard Goursat, Cours d'analyse mathematique 1-3, 1923-1925
です。フランスでは1992年に復刻されています。
http://www.gabay.com/sources/Liste_Bio.asp?NP=GOURSAT+Edouard
で購入可能。3巻で149ユーロもしますが。目次は
http://www.gabay.com/sources/Liste_Fiche.asp?CV=78
で見れます。
日本語訳はないですが、英訳が（部分的に？）あると思います。
>>174
別に辞典ではなくてあくまで教科書です。変分法や積分方程式についても
書かれていますが、まぁ、偏微分方程式論がメインか。高木貞治はそこを
ごっそりカットしました。
0183１３２人目の素数さん
05/02/26 05:57:400184１３２人目の素数さん
05/02/26 22:39:360185１３２人目の素数さん
05/02/27 18:21:12一生に一度は、滅茶苦茶分厚い
解析教程を書くのが、昔からの慣わしだよね
0186１３２人目の素数さん
05/02/27 20:52:02それだけで本屋ができる。。。でもないか。解析学者の人数の見当がつかん。
0187１３２人目の素数さん
05/02/27 22:28:23僕にはちっとも自明じゃありません．
明らかに発散するようにしか見えないのですが，なぜ自明なのでしょうか？
0188１３２人目の素数さん
05/02/27 22:48:54全員ではないが、俺が知る解析教程だけで軽く両手に余るよ
0189１３２人目の素数さん
05/02/27 22:50:49仏の有名な解析学者は皆書いてると思ってもいいんじゃないかな
Dieudonneも書いてたけど
0190１３２人目の素数さん
05/02/27 22:56:43Poincare は天体力学三冊（日本語訳は3巻目のみ）は書いたが
解析教程は書いてない。
0191１３２人目の素数さん
05/02/27 23:22:51何で無いんだろう？気質的に合わない気はするけど
じゃあ大統領の従兄弟は除く、と
0192１３２人目の素数さん
05/02/28 15:20:28Godement も出してるね。
http://www.svt-ebs.co.jp/subjects/SV-leaf/3-540-05923-7.HTM
0193１３２人目の素数さん
05/02/28 22:38:33E.Borel もたくさん本を書いているのに、解析教程は書いてない。
元はポリテクの講義録だからねえ。高木も杉浦も東大の講義がもとだ。
Poincare は天体力学の講義はしたが、微積分の講義をしなかったのかね。
0194吉祥院
05/03/01 10:28:49たとえば、ボレルやルベーグはエコール・ノルマルだから書いてない。
問題となるのはポアンカレだけど、これは謎。
デュドネ（エコール・ノルマル）が解析原論を書いているが
あれは厳密にいうと解析教程ではないのでは？（講義録にしてはデカすぎる）
0195１３２人目の素数さん
05/03/01 18:50:330196１３２人目の素数さん
05/03/01 21:05:39ポリテクニクやノルマル以外の人も書いてるね。
有名でないだけ
0197１３２人目の素数さん
05/03/03 20:31:55デュドネのElementsの第一巻は英語で書いたFoundationのフランス語版
なんだよね？これはアメリカでの講義の講義録だったはず。二巻以降は
知らないけど。
0198１３２人目の素数さん
05/03/04 03:40:110199１３２人目の素数さん
05/03/04 13:31:02最小値を有する。それをρ_0とすれば，ρ（Ｐ）＞０だから，ρ_0＞０で
ｖ（Ｐ，ρ_0／2）≦ｖ（Ｐ，ρ/2）＜ε．すなわちＰＱ＜ρ_0なるとき
｜ｆ（Ｐ）−ｆ（Ｑ）｜≦ｖ（Ｐ，ρ_0）≦ε．となっているのですが，
｜ｆ（Ｐ）−ｆ（Ｑ）｜≦εより，｜ｆ（Ｐ）−ｆ（Ｑ）｜＝εとなって
しまうことはないのでしょうか？よろしくお願いします。
0200157
05/03/05 07:09:48お久しぶり。
定理の結論の δ に ρ_0 をとるとそういうことになるけど、
δ に ρ_0 / 2 をとれば |f(P)-f(Q)| < ε となる。
たしかに意図の分かりにくい書き方かもしれない。
0201１３２人目の素数さん
05/03/05 10:23:49ありがとうございます。
ということは，この本のＰＱ＜ρ_0なるときというのは，ＰＱ＜ρ_0／２
なるときとすべきなのですね。
0202１３２人目の素数さん
05/03/05 11:01:43最後の文が結論なんじゃなくて、その前の文が結論。
最後のはそれの補足のようなもので、
そこの部分を ρ_0 / 2 にすべきということではない。
まあ、なんにせよ定理の結論は δ = ρ_0 / 2 とすれば得られる。
0203１３２人目の素数さん
05/03/05 17:35:00なってもいい。
連続の定義にある＜を≦で置き換えてできる四通りは全て同値。
0204１３２人目の素数さん
05/03/06 10:33:03｜ｆ（Ｐ）−ｆ（Ｑ）｜≦ｖ（Ｐ，ρ_0）≦ε で全て等号が成立すれば
（即ち｜ｆ（Ｐ）−ｆ（Ｑ）｜＝ε のとき）、どのように
｜ｆ（Ｐ）−ｆ（Ｑ）｜＜εを導けばいいのですか？
0205１３２人目の素数さん
05/03/06 12:13:47> （即ち｜ｆ（Ｐ）−ｆ（Ｑ）｜＝ε のとき）、どのように
> ｜ｆ（Ｐ）−ｆ（Ｑ）｜＜εを導けばいいのですか？
0<η<εとなるようにηをとれば|f(P)-f(Q)|=ηのとき|f(P)-f(Q)|<ε。
0206１３２人目の素数さん
05/03/07 14:57:38連続体であるというと書かれているのですが、連結されている閉集合が一点
だけしか含まない場合ってあるのですか？すなわち一点だけからなる閉集合
というものは存在するのですか？
0207１３２人目の素数さん
05/03/07 17:54:54空間、距離空間など)では一点は閉集合。開集合の補集合が閉集合だから、実
数体の場合、実数xに対して二つの開区間の和(-∞, x)∪(x, +∞)が開集合だ
というのと同じ。
0208BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
05/03/07 17:59:390209１３２人目の素数さん
05/03/07 18:12:37質問した香具師は位相についての基礎知識を持ち
合わせていないだろう。
おそらくは閉集合の定義すら怪しいと思われ。
0210１３２人目の素数さん
05/03/07 21:43:56開集合の補集合が閉集合だから、実数体の場合、{x}が閉集合であるというのは
実数xに対して二つの開区間の和(-∞, x)∪(x, +∞)が開集合だというのと同じ。
これは開集合の定義からすぐにわかる(全部内点)。
でどうだろう。これでわからなければ点列でも使う？
0211１３２人目の素数さん
05/03/07 22:31:10例えばコーシーの定理の証明とか、について新しく附録で補足するとしたら
他にどんなところをどうするべきでしょうか？
例えば「コーシーの定理については、
1944年のエミール・アルティンの論文を参考にしたアールフォルスの教科書
（回転数を使う方法）のような形が多いので、この証明を附録にするべき」という感じで。
0212１３２人目の素数さん
05/03/07 22:35:01あほか お前は！
高木貞治の解析概論は あれでいいんだよ！
古臭くていやなら、他の本を読めよ！
ぶぁっかじゃないの？
晒し上げ！
0213１３２人目の素数さん
05/03/08 00:08:57基本的なところの説明が現代的にどうなったかは興味のあるところだな。
数学科の人なら授業で当然習うんだろうけど。
0214１３２人目の素数さん
05/03/08 13:07:380215１３２人目の素数さん
05/03/08 13:11:06ありがとうございます。一つ質問があるのですが、順序位相というの
は、順序集合があって、それが位相空間になっているということで
すか？
0216１３２人目の素数さん
05/03/08 13:24:59順序から定まる位相という事だろう
0217１３２人目の素数さん
05/03/08 15:33:52全順序集合Xに対してX自身と「開区間」(a, b)={x∈X: a<x<b}の
任意個(無限個でも良い)の和集合を開集合として定義した位相。
a=bとして空集合も開集合。普通実数に入ってるのはこれ。
位相の準基底を知ってるならば切片(←, b)={x∈X: b<x}と(a, →)
={x∈X: a<x}との全体を準基底としてやった位相と言い換えても良
いんだけど。
0218１３２人目の素数さん
05/03/08 15:35:54> (←, b)={x∈X: b<x}
間違えた(←, b)={x∈X: x<b}だった。
0219１３２人目の素数さん
05/03/08 15:42:51> 全順序集合Xに対してX自身と「開区間」(a, b)={x∈X: a<x<b}の
> 任意個(無限個でも良い)の和集合を開集合として定義した位相。
やっぱり始めから(←, b)と(a, →)も入れとかなきゃ駄目だな。
有限集合で問題になる。準基底での定義はこれでよろしい。
連投スマン。
0220１３２人目の素数さん
05/03/08 18:48:51全順序集合Ｘが開集合でなければ、位相が定義できないので、全順序集合Ｘ
は開集合に限ると解釈して良いのでしょうか？
0221１３２人目の素数さん
05/03/08 18:52:20X自信を買い集合とするってかいてるでしょ。
0222１３２人目の素数さん
05/03/08 22:53:49いまどきの馬鹿は、幹事も六に駆けんのか？
0223１３２人目の素数さん
05/03/09 04:28:30いやいや、いつの地代の馬鹿でも監事ぐらいちゃんと賭けますよ。
0224１３２人目の素数さん
05/03/09 12:35:140225BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
05/03/09 14:00:080226１３２人目の素数さん
05/03/09 15:12:470227１３２人目の素数さん
05/03/09 15:30:27俺には225の 雄真絵荷菜荷 が分からん。
0228１３２人目の素数さん
05/03/09 15:40:47おまえになにが わかるというのか？
じゃないの？
0229１３２人目の素数さん
05/03/09 16:01:090230１３２人目の素数さん
05/03/09 17:18:59> 叉ん楠。
さいごに意味不明な言葉を残していくなよ。なにそれ！
0231１３２人目の素数さん
05/03/09 19:05:52位相の基底というのは教科書で確認したので理解できたのですが、準基底と
いうのは載っていませんでした。準基底と基底はどのような違いがあるの
ですか？
0232１３２人目の素数さん
05/03/09 21:14:20サンクス。
だろ
0233BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
05/03/09 21:56:470234１３２人目の素数さん
05/03/09 23:45:39一点のみからなる連結な閉集合というのはＴ１分離公理を満たす位相空間
における一点集合｛ｘ｝等があるということは分かったのですが、二点の
みを含むものがなかなか思いつきません。
0235１３２人目の素数さん
05/03/10 00:07:15元が二つのみの集合に密着位相を入れればいいんじゃないの？
つか、スレ違いだわな。質問スレにかきこんだほうがいいね。
0236１３２人目の素数さん
05/03/10 08:53:51スレ違いで申し訳ないのですが、元が二つのみの集合をＸとして、Ｘに
密着位相を入れるとすると、これはＸと空集合を開集合として定義される
位相なのでＸは開集合でないといけないと思うのですが、元が二つのみの
集合は閉集合になってしまうので密着位相を入れることは出来ないと思う
のですが、これはどうなのでしょうか？
0237１３２人目の素数さん
05/03/10 09:02:28開かつ閉であってはいけないと思ってる？
てか、口調が日近クンっぽいのだが、位相の勉強し始めたのか？
なんの本読んでるんだ？言ってることかなり変だぞ。
0238１３２人目の素数さん
05/03/10 09:36:202 点のみからなる T1 空間で連結なもの、
を考えてんじゃねーの。いずれにせよそんなの無いが。
0239１３２人目の素数さん
05/03/10 15:33:09ということは元が二つのみの集合をＸとして、これと空集合を開集合と
定義して密着位相を定義しても良いのですか？そうするとＸは開集合
となり、閉集合にはならないと思うのですが。それとも、元が二つのみの
集合Ｘを閉集合としておいて、密着位相を入れるときはＸは開集合と定義
するとして良いのでしょうか？
0240１３２人目の素数さん
05/03/10 15:43:19教科書嫁！
0241１３２人目の素数さん
05/03/10 15:55:22教科書には、一般に、任意の集合Ｘに対して、位相をＯ_X＝｛Φ，Ｘ｝
と定めれば、Ｘは位相空間になる。この位相を密着位相という。
と書かれています。この任意の集合Ｘというのは、文字通り二点のみ
を含む開集合かつ閉集合であるような集合でも良いのですか？
0242１３２人目の素数さん
05/03/10 16:12:570243１３２人目の素数さん
05/03/10 16:27:010244１３２人目の素数さん
05/03/10 17:08:530245１３２人目の素数さん
05/03/10 17:16:00教科書を持っていないから。
文句ありますか？
0246１３２人目の素数さん
05/03/10 19:49:540247１３２人目の素数さん
05/03/10 23:39:46佐久間一浩著の集合・位相（基礎から応用まで）という教科書を読んでいま
す。
0248１３２人目の素数さん
05/03/15 11:48:40か、それともさっと目を通すだけで良いのでしょうか？皆さんは、「解析概
論」を読み進めていく際に、練習問題についてはどのように対応されたので
すか？
0249１３２人目の素数さん
05/03/15 14:05:26102 ：１３２人目の素数さん ：05/01/15 02:17:44
>>95-96
でたな、馬鹿！
またおまえか？
( ﾟ∀ﾟ)ｱﾊﾊ八八ﾉヽﾉヽﾉヽﾉ ＼ / ＼/ ＼
103 ：１３２人目の素数さん ：05/01/15 02:20:29
質問バカはウケルな、正直。
104 ：１３２人目の素数さん ：05/01/15 19:29:10
>>95-96
こいつホントに何なんだろうね。いい加減うざくなってきた
数学なんてやめちまえばいいのに
それとも釣りなんだろうか
0250１３２人目の素数さん
05/03/15 23:58:23じっくり考えました。解いたとは言えんが。
0251１３２人目の素数さん
05/03/16 09:11:52私自身はじっくり考えましたね。
ただ一般論を言えば教科書の章末問題の類は本文の内容の数学的理解を確認あるいは深めるためのものであり、
ほとんどの人は数学の専門家になるわけではないのですからあまりこだわらない方が良いと思います。
むしろ他の適切な演習書で実践的な計算力を身につけた方が有意義なことが多いでしょう。
0252１３２人目の素数さん
05/03/16 14:58:14別にひどく難しい問題が含まれてるわけじゃないんだから
ゲーム感覚でスイスイと解いてけ
0253１３２人目の素数さん
05/03/16 20:41:01ります。（２）の問題 ａ＞０，ｂ＞０；ａ_1＝（ａ＋ｂ）／２，ｂ_1＝
√（ａ_1・ｂ），一般にａ_ｎ＝（ａ_｛ｎ-1｝＋ｂ_｛ｎ-1｝）／２，
ｂ_ｎ＝√（ａ_ｎ・ｂ_｛ｎ-1｝）とすれば，ｌ＝lim［ｎ→∞］ａ_ｎ＝
lim［ｎ→∞］ｂ_ｎ が存在する。 というところにある数列ａ_ｎ，ｂ_ｎ
の定義を用いて，その下にある問題 ｜ａ｜＜ｂのとき，ａ＝ｂcosｘ，
−π＜ｘ＜π ，と置けば，l＝ｂsinｘ/x となることを示そうとしていて，
lim［ｎ→∞］ａ_ｎ＝ｂcos(ｘ／2)・cos（ｘ／4）・cos（ｘ／8）・・・・
・cos（ｘ／２^ｎ）・・・・・１
lim［ｎ→∞］ｂ_ｎ についても同様になることまで分かったのですが，
ここからどのようにこれらが ｂsinｘ／ｘ になることを示せば良いので
しょうか？つまり，どのようにcos（ｘ／２）・cos（ｘ／４）・・・・・
・cos（ｘ／２^ｎ）・・・・・１＝sinｘ／ｘ となることを示せば良いので
しょうか？宜しくお願いします。
0254１３２人目の素数さん
05/03/16 21:30:000255１３２人目の素数さん
05/03/16 22:22:05sin（２ｘ）＝２sinｘcosｘ より sinｘ＝２sin（ｘ／２）cos（ｘ／２）
なので sinｘ＝２cos（ｘ／２）√｛（１−（cos（ｘ／２））^2｝
sin（ｘ／２）≧０の場合はこのようになると思います。
あとはcos（ｘ／４），cos（ｘ／８）についても同様に考えていけば良いの
でしょうか？
0256１３２人目の素数さん
05/03/16 22:44:000257１３２人目の素数さん
05/03/17 06:55:33あなたは同様に考えていけば良いと思っていますか？
0258１３２人目の素数さん
05/03/17 09:48:37>>255で書いたsinｘとcos（ｘ／２）の関係は合っているでしょうか？
あの関係だと、cos（ｘ／２）がsinｘのきれいな式で表すことが出来なかっ
たのですが。
0259１３２人目の素数さん
05/03/17 17:36:34sin (x/2) = 2 sin (x/4) cos (x/4)
sin (x/4) = 2 sin (x/8) cos (x/8)
.....
0260１３２人目の素数さん
05/03/18 21:36:46のlim［ｎ→∞]ａ_ｎをsinのみの形で表せたのですが、
cos（ｘ／２）・cos（ｘ／４）・・・・・cos（ｘ／２^n）・・・・・１
のように積の形で表されている場合、第ｎ項までの積
cos（ｘ／２）・cos（ｘ／４）・・・・・cos（ｘ／２^n）の極限である
と考えて良いのでしょうか？
0261１３２人目の素数さん
05/03/18 21:37:20講義するっていうセミナーを某大学が開くそうです。
でも解析概論って二日で読めるもんなんですか？
0262１３２人目の素数さん
05/03/18 21:38:330263１３２人目の素数さん
05/03/18 21:43:49It is you who has introduced the notion
cos(x/2) cos(x/4) ...
So you must know the answer.
0264１３２人目の素数さん
05/03/18 22:05:00極限として定義すれば極限。
極限でないものとして定義すれば極限でない。
0265１３２人目の素数さん
05/03/18 22:23:02lim[ｎ→∞]ａ_ｎ＝ｂcos（ｘ／２）・cos（ｘ／４）・・・・・
・cos（ｘ／２^n）・・・・・ ということなのですが、これを
lim[ｎ→∞]ａ_ｎ＝lim[ｎ→∞]{ｂcos（ｘ／２）・cos（ｘ／４）・
・・・・cos（ｘ／２^n）} として良いのでしょうか？
0266１３２人目の素数さん
05/03/18 22:30:00...
Write down a_n using cos and then take the limit of a_n's as n goes to infinity.
0267BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
05/03/18 22:34:520268１３２人目の素数さん
05/03/18 22:51:11それを書いたのは>>253だから>>253にきけ
0269１３２人目の素数さん
05/03/18 23:03:530270１３２人目の素数さん
05/03/19 00:54:530271BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
05/03/19 08:46:100272１３２人目の素数さん
05/03/19 11:56:20すでに>>266が書いてくれてるが、あまりにも「定義と論理」に弱いぽなので補足し
てやろう。
(1)もし a_n = b_n（for∀n）ならば、lim[n→∞]a_n = lim[n→∞]b_n
ＯＫ？
(2) a_n = ｂcos（ｘ／２）・cos（ｘ／４）・・・・・cos（ｘ／２^n） （for∀n）
ＯＫ？
(2)に(1)を適用すれば、lim[n→∞]a_n のcosによる表現が得られる。というだけのことジャン。
（その極限値を、cos（ｘ／２）・cos（ｘ／４）・・・・・cos（ｘ／２^n）・・・・・１
のように「書く」かどうかは、記号と定義の問題で、藻前が好きにすればいい。というのが
>>264の言っていること）
0273１３２人目の素数さん
05/03/19 14:34:14ａ＞０，ｂ＞０として，ａ_1＝（ａ＋ｂ）／２，ｂ_1＝√（ａ_1・ｂ），
一般にａ_n＝（ａ_（n-1）＋ｂ_（n-1））／２，ｂ_n＝√（ａ_n・ｂ_（n-1））
として定義される数列ａ_n，ｂ_nで，ａ＞ｂ＞０のとき，ａ＝ｂcoshｘと
置くと，ｙ＝coshｘ＋１とおきかえて，
ａ_1＝ｂｙ／２，ｂ_1＝ｂ（ｙ／２）^（1/2）
ａ_2＝（ｂ／４）｛ｙ＋２（ｙ／２）^（1/2）｝
ｂ_2＝（ｂ／２）[ｙ｛（ｙ／２）^（1/2）＋１｝］^（1/2）
このようにａ_1，ｂ_1，ａ_2，ｂ_2が求まったのですが，ａ_n，ｂ_nの
一般項を求めるのに，ここからどのように一般項を類推すれば良いのでしょう
か？規則性がよく分かりません。
0274１３２人目の素数さん
05/03/19 16:21:44規則性がよく分からなかったらもっと計算してみてはいかがでしょうか。
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