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124コメント21KB

差分方程式について考えようか

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0001１３２人目の素数さんNGNG
21世紀はコレの時代だね
0002１３２人目の素数さんNGNG
関数f:Z^2→Rが∀n,m∈Z f(n,m)≧0で
∀n,m∈Z 4*f(n,m) = f(m-1,n)+f(m+1,n)+f(m,n-1)+f(m,n+1) なら
f(n,m)は定数関数になる。

昔数学板で結構話題になった問題。

連続（f:R^2→Rが f(x,y)≧0でΔf=0）だと難易度は落ちるのに、
↑のはなかなか解けないのがｲﾔｰﾝ
0003１３２人目の素数さん05/01/30 04:16:27
2レスってｽｯｹﾞ
0004１３２人目の素数さん05/02/16 12:53:34
826
0005BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU 05/02/18 22:16:19
微分方程式と同じくらい解きやすかったら、差分方程式だけで十分なのだが。
0006Arith ◆Arithtz1sk 05/02/19 01:18:13
>>2
結構単純な証明を思いついたが…。

Z^2の代わりにZ[i]を使う。またε, ε_1, ...をZ[i]の単数をあらわす変数とする。
f:Z[i]→Rがf≧0, 4*f(m+ni) = 農{k=0, 1, 2, 3} f(m+ni+i^k) を満たすとする。
このとき、農{k=0, 1, 2, 3}（f(m+ni)-f(m+ni+i^k)）=0.
よってf(m+ni)≠f(m+ni+ε)ならば、あるε_1があってf(m+ni)>f(m+ni+ε_1)となる。
f(m+ni+ε_1)について同様の考察を行うと、
f(m+ni+ε_1)>f(m+ni+ε_1+ε_2)を満たすε_2を得る。
以下同様にして
f(m+ni)>f(m+ni+ε_1)>f(m+ni+ε_1+ε_2)>...>f(m+ni+ε_1+ε_2+...+ε_l)>...
となる無限列を得るが、これはf≧0に反する。(Q. E. D)

ちなみに一般にZ^2の代わりにGを加群、AをGの対称な部分集合として、
4*f(n, m)=f(m-1, n)+f(m+1, n)...の代わりに|A|*f(g)=農{a∈A}f(g+a)を条件としても
上の証明と同様にして対応する結果を導ける。
0007１３２人目の素数さん05/02/19 09:00:37
>>6
おぅ、ｽｯｹﾞ。
0008１３２人目の素数さん05/02/19 11:10:00
ｇをｇ（ｍ，ｎ）＝１／（ｍ＾２＋ｎ＾２＋１）と定義すると
ｇ（０，０）＞ｇ（１，０）＞ｇ（２，０）＞ｇ（３，０）＞．．．
となる無限列を得るがこれはｇ≧０に反する。
よってｇ（ｍ，ｎ）＝１／（ｍ＾２＋ｎ＾２＋１）と定義することは出来ない。
0009１３２人目の素数さん05/02/28 11:36:35
978
0010１３２人目の素数さん05/03/10 19:06:00
957
0011１３２人目の素数さん05/03/10 19:53:40
>>2
離散調和関数かな
0012１３２人目の素数さん05/03/20 10:27:40
697
0013BlackLightOfStar ◆pOWVAyA9MM 05/03/20 10:46:48
>>5
調子に乗るな。
0014BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU 05/03/20 10:57:15
Re:>13 お前に何が分かるというのか？
0015１３２人目の素数さん81/64/49/36/25/16/09/04/01(金) 23:54:01
759
0016１３２人目の素数さん81/64/49/36/25/16/09/04/01(金) 23:56:23
差分と超離散 広田 良吾 (著), 高橋 大輔 (著)
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4320017293/249-1666728-9089902
どうよ？
0017１３２人目の素数さん81/64/49/36/25/16/09/04/02(土) 00:02:40
>>16
とてもよい本
0018１３２人目の素数さん81/64/49/36/25/16/09/04/02(土) 01:12:00
じゃあ買おうかな。
0019１３２人目の素数さん2005/04/20(水) 20:28:14
431
0020１３２人目の素数さん2005/05/06(金) 08:11:43
636
0021１３２人目の素数さん2005/05/25(水) 01:53:48
511
0022１３２人目の素数さん2005/06/22(水) 04:53:04
367
0023１３２人目の素数さん2005/07/24(日) 02:14:26
998
0024１３２人目の素数さん2005/08/05(金) 19:58:34
568
0025１３２人目の素数さん2005/09/21(水) 18:07:50
762
0026１３２人目の素数さん2005/10/08(土) 13:31:05
538
0027１３２人目の素数さん2005/11/18(金) 09:53:31
990
0028１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 17:31:29
999
0029１３２人目の素数さん2005/12/16(金) 17:26:14
>>6
>>8がいうように
正しいとは思えないが
0030１３２人目の素数さん2006/01/02(月) 03:09:13
821
0031１３２人目の素数さん2006/01/07(土) 15:44:39
x[n+2]-x[n+1]+x[n]=0　　周期 6
x[n+1]=(1+x[n])/x[n-1]　　周期 5
x[n+2]=(1+x[n+1]+x[n])/x[n-1]　　周期 8
x[n]=c/x[n-1]　　周期 2
x[n]=(1+x[n-1])/x[n-2]　　周期 5
x[n]=(1+x[n-1]+x[n-2])/x[n-3]　　周期 8
x[n]=|x[n-1]|-x[n-2]　　周期 9
x[n+1]=(x[n]-{tan(π/N)}^2)/(x[n]+1)　　周期 N (N>2)
0032１３２人目の素数さん2006/01/08(日) 17:36:20
藻まい等馬鹿だな
0033１３２人目の素数さん2006/02/05(日) 05:54:00
343
0034名も無き冒険者2006/02/21(火) 23:11:18
教えてエロイ人。
2階微分のdy^2/dx^2を差分に直すとどうなりまつか？
更にn階微分も教えてください。

※釣りではありません。
0035１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 18:30:34
174
0036１３２人目の素数さん2006/03/17(金) 17:06:15
『さぶ』の復刊を望む。
0037１３２人目の素数さん2006/03/26(日) 14:42:49
0038１３２人目の素数さん2006/03/26(日) 19:41:14
やけに寂しいスレだのう。
ちょっくら。
ｋｉｎｇた〜〜ん
ＴａｍａＫｉｎｇた〜〜ん
中川た〜〜ん
0039１３２人目の素数さん2006/03/26(日) 19:43:30
コラッツの差分方程式を解けたらプリンストンにいけるよ
0040１３２人目の素数さん2006/03/26(日) 20:47:37
コラッ！藻前が解け。
0041GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2006/03/26(日) 21:09:21
talk:>>38 私を呼んだか？
0042中川秀泰2006/03/28(火) 21:33:32
talk:>>38 私を呼んだか？
0043中川秀泰2006/03/28(火) 22:04:26
>>36
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1131278949/
0044１３２人目の素数さん2006/03/31(金) 16:48:35
広田良吾『差分学入門』中に「定理の構造が見えにくいので数学的帰納法による証明はできるだけ使わない方がよいと思っている…」と
あり、ここだけ読むと広田先生の個人的考えのようですが、それともある程度の共通認識なのでしょうか。
0045１３２人目の素数さん2006/03/31(金) 17:26:14
帰納法使う奴は人間のくず
0046１３２人目の素数さん2006/03/32(土) 01:02:20
定理の構造が見えにくいので背理法による証明はできるだけ使わない方がよいと思っている…

根上とかこういうこと言いそう
0047１３２人目の素数さん2006/03/32(土) 19:59:51
エスカレートすると
数学の本質が見えにくいので細かい所は省略する、とかになると。
0048１３２人目の素数さん2006/04/02(日) 00:59:13
定理の本質が見えにくいので証明は省略する (by ルネ・トム)

だろ?
0049１３２人目の素数さん2006/04/15(土) 23:05:52
315
0050１３２人目の素数さん2006/04/17(月) 08:29:11
帰納法使わぬ奴は人間のくず
0051１３２人目の素数さん2006/04/17(月) 09:46:14
使ってもくず
0052１３２人目の素数さん2006/04/23(日) 16:07:51
　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　 　　　┌-―ー-';
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　| (・∀・) ﾉ
　　　　　　　　　 　 　　 ＿＿＿＿ 　　　　上―-―' 　　　＿＿＿_
　　　　　　 　　　　　　　| （･∀･） ｜ 　 ／　 ＼　　　　　 | (・∀・) |
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　　　　　　　　　　　］皿皿［-∧-∧|ll||llll||lllｌ||lllｌ|lll|￣|]皿皿[_|
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0053１３２人目の素数さん2006/04/27(木) 07:41:52
age
0054１３２人目の素数さん2006/04/27(木) 09:59:33
使ってもずく
0055１３２人目の素数さん2006/05/13(土) 21:19:57
302
0056１３２人目の素数さん2006/05/26(金) 12:57:22
916
0057１３２人目の素数さん2006/06/16(金) 00:40:46
993
0058１３２人目の素数さん2006/07/11(火) 18:34:53
教えてくださいマジで。
前進差分、後退差分、中心差分の違いって何？
結果は（誤差を除けば）同じになると思うのだが。
0059１３２人目の素数さん2006/07/12(水) 16:27:37
誤差ってなんだよ
0060１３２人目の素数さん2006/07/28(金) 17:07:35
900
0061１３２人目の素数さん2006/08/30(水) 15:46:20
805
0062１３２人目の素数さん2006/10/02(月) 23:59:07
340
0063中川秀泰2006/10/06(金) 12:42:17
>>59
ごさ＝５３＝ゴミ
0064１３２人目の素数さん2006/11/07(火) 13:51:11
差分方程式の解の安定性に関する実用上の要請から
位相群論などで著名なソ連の盲目の数学者
ポントリャギンが、戦時中に求めた定理の、いちばん簡単な
一つの場合として
「z−expzは複素数平面上に無限個の零点を持つ」
が導かれる
0065１３２人目の素数さん2006/11/08(水) 21:17:26

多分方程式
0066１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 06:33:54
944
0067１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 15:06:38
age
0068１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 16:50:20
>>59
マジでいってるのかな？
0069１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 17:01:15
マジに考えると結構難しい。
0070１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 18:52:45
和分
0071１３２人目の素数さん2006/12/27(水) 13:48:17
499
0072１３２人目の素数さん2007/01/01(月) 11:34:03
二年。
0073１３２人目の素数さん2007/02/05(月) 14:12:22
403
0074１３２人目の素数さん2007/03/11(日) 17:41:11
975
0075shu2007/04/07(土) 16:17:44
結構単純な証明を思いついたが…。

Z^2の代わりにZ[i]を使う。またε, ε_1, ...をZ[i]の単数をあらわす変数とする。
f:Z[i]→Rがf≧0, 4*f(m+ni) = 農{k=0, 1, 2, 3} f(m+ni+i^k) を満たすとする。
このとき、農{k=0, 1, 2, 3}（f(m+ni)-f(m+ni+i^k)）=0.
よってf(m+ni)≠f(m+ni+ε)ならば、あるε_1があってf(m+ni)>f(m+ni+ε_1)となる。
f(m+ni+ε_1)について同様の考察を行うと、
f(m+ni+ε_1)>f(m+ni+ε_1+ε_2)を満たすε_2を得る。
以下同様にして
f(m+ni)>f(m+ni+ε_1)>f(m+ni+ε_1+ε_2)>...>f(m+ni+ε_1+ε_2+...+ε_l)>...
となる無限列を得るが、これはf≧0に反する。(Q. E. D)

ちなみに一般にZ^2の代わりにGを加群、AをGの対称な部分集合として、
4*f(n, m)=f(m-1, n)+f(m+1, n)...の代わりに|A|*f(g)=農{a∈A}f(g+a)を条件としても
上の証明と同様にして対応する結果を導ける。
0076１３２人目の素数さん2007/04/12(木) 10:31:03
>>75
数板なのに誰も釣れないね…
(´･ω･`)ｼｮﾎﾞｰﾝ
0077１３２人目の素数さん2007/06/25(月) 00:59:30
age
0078１３２人目の素数さん2007/06/25(月) 01:07:15
>>75
1>1/2>1/4>1/8>1/16>...って無限列がfには許されるのね
0079１３２人目の素数さん2007/08/31(金) 14:00:04
0080１３２人目の素数さん2007/10/30(火) 09:32:07
769
0081１３２人目の素数さん2008/01/10(木) 15:34:03
三年九日四時間。
0082１３２人目の素数さん2008/02/16(土) 21:03:56
Γ(z+1) = zΓ(z)
0083１３２人目の素数さん2008/02/16(土) 21:34:08
>>2の正しい証明きぼん
0084１３２人目の素数さん2008/04/10(木) 10:11:11
748
0085１３２人目の素数さん2008/04/10(木) 22:52:49
age
0086１３２人目の素数さん2008/04/10(木) 22:54:22
>>5のBlackLightOfStar って奴馬鹿じゃない？
Kingもそう思うだろ？
0087ピカ z (．ﾟ−ﾟ) ◆81L9Tcb6w. 2008/04/10(木) 22:55:23
漸化式
00881stVirtue ◆.NHnubyYck 2008/04/10(木) 23:01:10
Reply:>>86 お前は何をしようとしている。
0089１３２人目の素数さん2008/04/10(木) 23:02:35
>>5
何が十分なんだ
差分方程式が解ける場合でも
微分方程式の方が現象の性質を調べやすい事もあるだろう
0090ピカ z (．ﾟ−ﾟ) ◆81L9Tcb6w. 2008/04/10(木) 23:04:45
BlackLightOfStarって中二病かよ
00911stVirtue ◆.NHnubyYck 2008/04/10(木) 23:15:05
Reply:>>89 それは離散では扱いにくいからではないか。
0092１３２人目の素数さん2008/04/10(木) 23:31:43
>>91
ばーか
0093ピカ z (．ﾟ−ﾟ) ◆81L9Tcb6w. 2008/04/10(木) 23:36:34
>>91
氏ね
0094１３２人目の素数さん2008/06/01(日) 10:26:30
833
0095１３２人目の素数さん2008/07/23(水) 03:37:35
137
0096ピカ z (．ﾟ−ﾟ) ◆81L9Tcb6w. 2008/08/11(月) 14:04:00
>>5
0097１３２人目の素数さん2008/09/18(木) 17:39:08
kingは早く自分の星に帰れ。
0098１３２人目の素数さん2008/09/19(金) 05:46:06
>>2を明日解く
0099KingMind ◆KWqQaULLTg 2008/09/19(金) 12:38:34
Reply:>>97 どこか。
0100１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 13:05:32
594
0101１３２人目の素数さん2008/12/03(水) 12:43:04
318
0102１３２人目の素数さん2008/12/20(土) 18:32:58
よく授業でこの微分方程式を周期Tでサンプリングして差分方程式にしたとか出てくるんだけど、結果だけでイマイチ分からん
例えば線形2階微分方程式を離散化するとどんな感じになるの？
0103１３２人目の素数さん2009/01/01(木) 14:34:03
四年三時間。
0104１３２人目の素数さん2009/01/15(木) 01:51:16
差分
1/(2・3)＋1/(3・4)＋・・・
みたいな問題に有効だよね。
0105１３２人目の素数さん2009/02/11(水) 16:41:16
909
0106１３２人目の素数さん2009/04/25(土) 11:14:46
767
0107１３２人目の素数さん2009/06/21(日) 17:45:43
155
0108１３２人目の素数さん2009/07/11(土) 01:15:11
883
0109１３２人目の素数さん2009/08/18(火) 12:01:45
940
0110１３２人目の素数さん2009/09/04(金) 17:35:29
サヴァン方程式
0111１３２人目の素数さん2009/09/16(水) 07:39:51
広田良吾ってなんであんなに威張ってるの？
0112猫は残飯 ◆ghclfYsc82 2009/09/16(水) 09:36:10
とても偉い先生です。
たとえ威張られても私は文句がありません。
0113１３２人目の素数さん2009/09/16(水) 19:15:00
広田良吾って誰？
0114猫は残飯 ◆ghclfYsc82 2009/09/16(水) 19:19:43
今は何処に居てはるんですかね。
ソリトン関係ではビッグ・ネームですよ。
双線形形式とか広田微分とかで調べたら
出て来るんじゃないでしょうかね。

昔に電気回路でソリトンの研究をやった
とか言って居られました。
0115１３２人目の素数さん2009/09/16(水) 22:57:57
何の回路ですか？
0116１３２人目の素数さん2009/09/21(月) 22:38:15
>>115
http://ci.nii.ac.jp/naid/110002178941/en
（ＰＤＦ閲覧可）

ソリトン　　電気回路　　広田　　　　でググッたら出た。

一次元戸田格子とアナログ等価な電気回路で、「梯子型」と言えばなんとなく伝わるかな．．．
0117１３２人目の素数さん2009/09/21(月) 22:47:44
>>116
ＰＤＦはアブストだけしか書いてないです．．．．orz
0118１３２人目の素数さん2009/09/22(火) 23:33:56
>>116
戸田さんの書いた記事とかにもよく出てくるよね
0119猫は珍獣 ◆ghclfYsc82 2009/09/23(水) 04:06:42
こういう立派な研究者は是非とも皆さんで尊敬申し上げたい
と思います。

猫
0120１３２人目の素数さん2009/09/23(水) 13:25:00
そんなに持ち上げる必要はない
0121１３２人目の素数さん2009/12/04(金) 18:50:24
492
0122１３２人目の素数さん2010/01/18(月) 21:34:03
五年十七日十時間。
0123１３２人目の素数さん2010/03/10(水) 06:30:16
647
0124１３２人目の素数さん2010/05/07(金) 18:11:38
592
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