>>128
では復習もかねてチャレンジしてみるか！

ある集合Sのベキ集合をP(S)とする。このときP(S)からP(S)への写像をfとし、fは次の4つの条件をみたすとする。
・f(S)=S
・∀M∈P(S)(f(M)⊂M)
・∀M,N∈P(S)(f(M∩N)=f(M)∩f(N))
・∀M∈P(S)(f(f(M))=f(M))
このとき、fはSに一つの位相構造を与える。実際、
　O={M｜M∈P(S)∧M=f(M)}
と取れば、集合系Oは位相の定義をみたす。(←要証明）
さらに、写像fは位相空間(S,O)の開核作用子となる。(←要証明）
逆に、ある開核作用子fが決まれば、fを開核作用子にすることのできるS上の位相は一意に定まる。実際、
　O={M｜M∈P(S)∧M=f(M)}
しかとれない。以上で、上の4つの条件をみたす写像fを与えることは、S上に一つの位相構造を与えることと同値であることが分かった。

こんな感じで理解してますが、厳しくチェックしてもらえるとうれしいです。