普通は集合論の話をするときは、classに関しては
インフォーマルにしか扱いません。これがZermelo-Fraenkel流。
で、集合だけじゃなくてクラスも形式的な理論の中で扱うのが
Bernays-Godel(-Neumann)流。

うーん、今手元にMac Laneの本でも有ればいいんだけど。
彼は基礎論出身だから……orz
（まあ、近くに図書館があるからかりてくればいいんだけどね。ﾒﾝﾄﾞｲ :-P）