少々まじめな質問です。
カテゴリ（圏）って何なんでしょ？
というのも、
『圏とは対象と射の組であると言う定義の本がほとんどである。
（というか、私はそのような本以外を知らない。）』
んで、この「組」と言うのが分からない。
『たとえば位相空間とは集合と位相の組である。』
と言うのは分かる。
位相も（部分集合族として）集合であるから、
位相空間は(集合,集合)なのである。
しかし圏の場合は(クラス,集合)と言うこともある。
もともと順序対(x,y)は集合{{x},{x,y}}なのであるから、
x \in {x} \in (x,y)である。

これを圏のときに使えば、
クラス \in {クラス} \in ...
となる。
Aが集合 \iff "\exists B s.t. A \in B"
なのであるからこのままでは、
集合でないクラスは圏の対象に成りえないのではと思う。
いかがなのでしょう？