ロピタルの定理より、
lim(x→0) {e^(x)-1}/{log(x+1)}
=lim(x→0) (x+1)e^(x) ( (e^(x)-1) '=e^(x) , {log(x+1)} '=1/(x+1) )
=1*e^0 = 1

＊　ロピタルの定理は
lim(x→a) f (x)/g(x)においてf (a)=0,かつg(a)=0 のとき、
lim(x→a) f (x)/g(x)=lim(x→a) f '(x)/g '(x)

です。